Άσκηση στην Μονοτονία Συνάρτησης

Άσκηση: Να αποδείξετε την παρακάτω πρόταση.

• Αν οι συναρτήσεις $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$, και ισχύουν: $g(x)>0, \acute{f\ \ \ }(x)g(x)<f(x)\acute{g\ \ }(x)\ \forall\ x\in \mathbb{R},\ g(1)=g(3)$, τότε είναι $f(1)>f(3)$.

Λύση:

Θεωρούμε τη συνάρτηση $h$ με

$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$

Ισχύει:

$\acute{h\ \ }(x)=\dfrac{\acute{f\ \ \ }(x)g(x)-\acute{g\ \ }(x)f(x)}{(g(x))^2}$

και $\acute{h\ \ }(x)<0 $ εξαιτίας της δοθείσας ανισότητας. Επομένως η συνάρτηση $h$ είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε

$h(1)>h(3)\Leftrightarrow\dfrac{f(1)}{g(1)}>\dfrac{f(3)}{g(3)}\Leftrightarrow f(1)>f(3)$

διότι $g(1)=g(3)>0.$

Tweet

Posted in: Γ Λυκείου,Λύκειο,Μονοτονία Συνάρτησης