Processing math: 100%

Κυριακή 6 Μαρτίου 2011

Άσκηση στην Μονοτονία Συνάρτησης

Άσκηση: Να αποδείξετε την παρακάτω πρόταση.
  • Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο \mathbb{R}, και ισχύουν: g(x)>0, \acute{f\ \ \ }(x)g(x)<f(x)\acute{g\ \ }(x)\ \forall\ x\in \mathbb{R},\ g(1)=g(3), τότε είναι f(1)>f(3).


Λύση:

Θεωρούμε τη συνάρτηση h με
h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.
Ισχύει:
\acute{h\ \ }(x)=\dfrac{\acute{f\ \ \ }(x)g(x)-\acute{g\ \ }(x)f(x)}{(g(x))^2}
και \acute{h\ \ }(x)<0 εξαιτίας της δοθείσας ανισότητας. Επομένως η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε
h(1)>h(3)\Leftrightarrow\dfrac{f(1)}{g(1)}>\dfrac{f(3)}{g(3)}\Leftrightarrow f(1)>f(3)

διότι g(1)=g(3)>0.

0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates