Ορισμένο Ολοκλήρωμα (GeoGebra)

Ορισμένο Ολοκλήρωμα

Πατήστε εδώ για να ανοίξετε την εφαρμογή σε νέα καρτέλα





















Tweet

Read more »

Posted in: Γ Λυκείου,Geogebra

Εμβαδόν τριγώνου (GeoGebra)

Μία GeoGebra εφαρμογή για το εμβαδόν του τριγώνου.

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Τρίγωνο,Geogebra

Άσκηση στον Γραμμικό Συνδυασμό Διανυσμάτων (Β' Λυκείου) (GeoGebra)

Άσκηση. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και Μ σημείο ώστε:

$$\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{A\Gamma}$$

με $x+y=1$. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ,Β και Γ είναι συνευθειακά.

Read more »

Posted in: Β Λυκείου,Διανύσματα,Λύκειο,Geogebra

Ίσα Τρίγωνα (???) (GeoGebra)

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε δύο τρίγωνα ABΓ και AB'Γ για τα οποία ισχύει(???) το κριτήριο Π-Γ-Π για τα ίσα τρίγωνα.

Read more »

Posted in: Α Λυκείου,Γ Γυμνασίου,Γυμνάσιο,Λύκειο,Τρίγωνο,Geogebra

Spirograph (GeoGebra)

Spirograph, Επιτροχοειδής (ή υποτροχοειδής) (Epitrochoid, Hypotrochoid) ονομάζεται η καμπύλη που διαγράφει οποιοδήποτε σταθερό σημείο που απέχει από το κέντρο κύκλου ακτίνας $r$ απόσταση ίση με $o$ ο οποίος περιστρέφεται εφαπτόμενος εξωτερικά ή εσωτερικά σε δεύτερο σταθερό κύκλο ακτίνας $R$.

Read more »

Posted in: Καμπύλες,Geogebra,video,wolfram alpha

Το Πρόβλημα του Fagnano (GeoGebra)

Στις πλευρές ενός οξυγώνιου τριγώνου ABC να βρεθούν τρία σημεία D,E,F διαφορετικά από τις κορυφές του, τέτοια ώστε η περίμετρος του τριγώνου DEF να είναι ελάχιστη.

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Τρίγωνο,Geogebra

Άσκηση στην Γεωμετρία 5 (GeoGebra)

Θεωρούμε δύο εξωτερικά εφαπτόμενους κύκλους με κέντρα F και G. Έστω AB και CD οι διάμετροι των κύκλων αντίστοιχα που είναι κάθετοι στη διάκεντρο FG. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία A,B,C και D έχει το ίδιο εμβαδόν με το άθροισμα των δύο κύκλων.

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Μέτρηση Κύκλου,Geogebra

Άσκηση στην Γεωμετρία (GeoGebra)

Άσκηση.
Έστω ABC ένα τυχαίο τρίγωνο και D ένα σημείο στην πλευρά AC. Οι κύκλοι που φαίνονται στο σχήμα είναι εγγεγραμένοι στα αντίστοιχα τρίγωνα. Να δείξετε ότι KL=HD.

Πατήστε εδώ για να επεξεργαστείτε το σχήμα με το πρόγραμμα GeoGebra.

gogeometry.com

Λύση.
Θυμίζουμε το παρακάτω θεώρημα σχετικά με τις εφαπτομένες ενός κύκλου από εξωτερικό του σημείο.

Read more »

Posted in: Α Λυκείου,Β Λυκείου,Εγγεγραμμένοι κύκλοι,Λύκειο,Τρίγωνο,Geogebra

Εισαγωγή GeoGebra Εφαρμογών σε Blogspot

Όπως θα έχετε δει πολλές από τις αναρτήσεις μου περιέχουν εφαρμογές που έχουν δημιουργηθεί σε Geogebra. Εδώ θα βρείτε όλες αυτές τις αναρτήσεις. Σε αυτήν την ανάρτηση θα δούμε πως μπορούμε να εισάγουμε τέτοιες εφαρμογές σε Blogspot. Φαντάζομαι ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να γίνει αυτό. Ας δούμε την μέθοδο που χρησιμοποιώ εγω.

Read more »

Posted in: Geogebra

Άσκηση στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Διανύσματα) (GeoGebra)

Στο σχήμα το $AB\Gamma\Delta$ είναι τραπέζιο με $(ΑΒ)=2(\Gamma\Delta)$, το $KA\Lambda B$ παραλληλόγραμμο και το $I$ μέσο του $\Gamma\Delta$. Να αποδείξετε ότι:

1. $\overrightarrow{K\Gamma}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KA}$ και $\overrightarrow{K\Delta}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KB}$
2. τα σημεία $I,K,\Lambda$ είναι συνευθειακά.

Read more »

Posted in: Β Λυκείου,Διανύσματα,Λύκειο,Geogebra

Εφαπτομένη Συνάρτησης (GeoGebra)

Μια GeoGebra εφαρμογή που απεικονίζει την εφαπτομένη μιας συνάρτησης.

Η εφαπτομένη της συνάρτησης $f$ στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της είναι η $$g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Read more »

Posted in: Γ Λυκείου,Λύκειο,Geogebra

Τριχοτόμηση Γωνίας και η Τετραγωνίζουσα (GeoGebra)

Στην παρακάτω εφαρμογή τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΔ και ΟΒ κινούνται με σταθερή ταχύτητα, ξεκινάνε την ίδια στιγμή και ταυτίζονται την ίδια στιγμή με το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ. Η κόκκινη καμπύλη αποτελείται από όλα τα κοινά σημεία των ΓΔ και ΟΒ και ονομάζεται τετραγωνίζουσα.

Read more »

Posted in: γωνίες,Geogebra

Πυθαγόρειο Θεώρημα Απόδειξη Χωρίς Λόγια (Geogebra)

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Geogebra

Άσκηση στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

Άσκηση

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$, προεκτείνουμε την πλευρά $B\Gamma$ προς το σημείο $B$ απόσταση ίση με την πλευρά $AB$ και προς το σημείο $\Gamma$ απόσταση ίση με την πλευρά $A\Gamma$ (όπως το σχήμα).

1. Να υπολογίσετε την γωνία $\hat{\Gamma A B'}$.
2. Να υπολογίσετε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ του τριγώνου.

Read more »

Posted in: Α Λυκείου,Γεωμετρία,Λύκειο,Geogebra

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Μία εφαρμογή Geogebra που υπολογίζει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τυχαίας γωνίας.

Ανοίξτε την εφαρμογή σε νέα καρτέλα.
Κατεβάστε την εφαρμογή.

Read more »

Posted in: Τριγωνομετρία,Geogebra

Μετατόπιση Πλευρών Τριγώνου

Μια εφαρμογή GeoGebra που μετατοπίζει τις πλευρές του τριγώνου κατά σταθερή απόσταση.

Read more »

Posted in: Τρίγωνο,Geogebra

Nine-point circle (GeoGebra)

Ο κύκλος των εννέα σημείων είναι ένας κύκλος που μπορεί να κατασκευαστεί για κάθε τρίγωνο. Ονομάζεται έτσι διότι διέρχεται από εννέα σηγκεκριμένα σημεία που εξαρτόνται από το τρίγωνο. 

Τα σημεία αυτά είναι:

• Τα μέσα των πλευρών.
• Τα σημεία τομής των υψών και των αντίστοιχων πλευρών.
• Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων μεταξύ των ακμών του τριγώνου και του ορθόκεντρου (σημείο τομής των υψών).

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Τρίγωνο,Geogebra

Κυκλοειδές (GeoGebra)

Θεωρούμε ένα δίσκο ακτίνας 1 ο οποίος περιστρέφεται (χωρίς να ολισθαίνει) στο επίπεδο. Η τροχιά ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου λέγεται κυκλοειδές (cycloid). Η καμπύλη που δημιουργείτε έχει την παρακάτω παραμέτρηση:

$\alpha(t)=(t-\sin(t),1-\cos(t))$

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Κυκλοειδές,Geogebra

Τι Τροχιά Έχει ; (GeoGebra)

Θεωρούμε ένα κύκλο και ένα εγγεγραμμένο στον κύκλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Επίσης θεωρούμε την ημιευθεία από το κέντρο του κύκλου προς την μία ακμή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Αν μετακινήσουμε την ακμή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ποια θα είναι η τροχιά του σημείου που βρίσκεται πάνω στην ημιευθεία και έχει απόσταση από το κέντρο του κύκλου ίση με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου; (βλ. σχήμα)

Read more »

Posted in: Geogebra

Κατασκευή Γωνιών 30, 45, 60, 90 και 120 μοιρών

Με αφορμή την ανάρτηση "κατασκευή γωνίας 30 μοιρών" στο blog Διασκεδαστικά Μαθηματικά θα δούμε πως μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη γωνίες 30, 45, 60, 90 και 120 μοιρών. Επίσης θα δούμε πως μπορούμε να διχοτομήσουμε μία γωνία.

Read more »

Posted in: Γυμνάσιο,γωνίες,Geogebra