Άσκηση στην Γεωμετρία 5 (GeoGebra)

Θεωρούμε δύο εξωτερικά εφαπτόμενους κύκλους με κέντρα F και G. Έστω AB και CD οι διάμετροι των κύκλων αντίστοιχα που είναι κάθετοι στη διάκεντρο FG. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία A,B,C και D έχει το ίδιο εμβαδόν με το άθροισμα των δύο κύκλων.

Δείτε και επεξεργαστείτε το σχήμα σε GeoGebra πατώντας εδώ.

www.gogeometry.com

Λύση. Έστω $R=FE,\ r=GE$ και $d=OE$. Υπολογίζουμε την ακτίνα του μεγάλου κύκλου.

$$\pi\cdot OA^2=R^2+(R-d)^2$$

και

$$\pi\cdot OC^2=r^2+(r+d)^2$$

Επομένως,

$$R^2+(R-d)^2=r^2+(r+d)^2$$

$$R^2+R^2-2Rd+d^2=r^2+r^2+2rd+d^2$$

$$2R^2-2Rd-2rd-2r^2=0$$

$$2(R^2-r^2)-2d(R+d)=0$$

$$R^2-r^2=d(R+r)$$

$$(R+d)(R-r)=d(R+r)$$

$$d=R-r$$

Επομένως η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι:

$$\pi(r^2+(r+d)^2)=\pi(r^2+R^2)=\pi r^2+\pi R^2$$

όσο δηλαδή το άθροισμα των δύο μικρότερων κύκλων.

Παρατηρήσεις.

• Από την προηγούμενη λύση παρατηρούμε ότι τα δύο τρίγωνα (στην πρώτη εικόνα) είναι ίσα (κριτήριο ΠΠΠ), επομένως εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι η γωνία $\hat{AOC}$ είναι ορθή.
• Επιπλέον τα σημεία $B,E,$ και $C$ είναι συνευθειακά (αφού η διάκεντρος $FG$ είναι διχοτόμος των γωνιών $\hat{AEB}$ και $\hat{CED}$), επομένως μπορούμε να δείξουμε ότι η γωνία \hat{AEC} είναι ορθή.

Έστω ένα σημείο $x$ πάνω στην διάκεντρο. Τα σημεία $O$ και $E$ είναι τα μόνα σημεία πάνω στην διάκεντρο που κάνουν την γωνία $\hat{AxC}$ ορθή.

Tweet

Posted in: Γεωμετρία,Μέτρηση Κύκλου,Geogebra