Πέμπτη, 17 Μαρτίου 2011

Μέθοδος Κατασκευής Κανονικού Πενταγώνου

Μία μέθοδος κατασκευής του κανονικού πενταγώνου είναι η ακόλουθη όπως φαίνεται στο σχήμα. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί προκύπτει κανονικό πεντάγωνο; Δείτε και επεξεργαστείτε το σχήμα σε GeoGebra πατώντας εδώ. Απαιτεί java.



Λύση. 
Έστω $r$ η ακτίνα του κύκλου. Έχουμε:
$\tan\hat{OA\Delta}=\dfrac{r}{\frac{1}{2}r}\Rightarrow\hat{OA\Delta}=\arctan (2)$
$\Rightarrow \hat{OAE}=\dfrac{\arctan(2)}{2}\Rightarrow \tan(\hat{OAE})=\tan\left(\dfrac{\arctan(2)}{2} \right)$
Όμως $\tan(\hat{OAE})=\dfrac{OE}{\frac{1}{2}r}$, άρα
$\tan\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right)\dfrac{1}{2}r=OE$
Τέλος θα υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας $\theta$.
$\cos\theta=\dfrac{OE}{r}=\dfrac{1}{2}\tan\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right)$
$\Rightarrow \theta = \arccos\left( \dfrac{1}{2}\tan\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right) \right)$.
Με ένα υπολογιστικό πρόγραμμα, για παράδειγμα το mathematica, μπορούμε να υπολογίσουμε την παραπάνω ποσότητα. Έχουμε $\theta=72\mathring{}$. Δηλαδή η $\Gamma\Delta$ είναι πλευρά κανονικού πενταγώνου, αφού $\dfrac{360}{5}=72.$






Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates