Κυριακή, 6 Μαρτίου 2011

Άσκηση στο Μήκος Τόξου

Άσκηση. Να βρείτε την περίμετρο του παρακάτω σχήματος. AB=4, BC=2 και AC=6.
Λύση. Τα τόξα AB, AC και BC είναι ημικύκλια. Για να βρούμε την περίμετρο του σχήματος αρκεί να υπολογίσουμε το μήκος τους. Έστω $\rho$ η ακτίνα που έχει το ημικύκλιο $AB$. Έχουμε:
$\overset{\frown}{AB}=2\pi \rho \dfrac{180}{360}$
Όμως $\rho=2$, επομένως
$\overset{\frown}{AB}=2\pi 2 \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \overset{\frown}{AB}=2\pi.$
Όμοια $\overset{\frown}{AC}=3\pi$ και $\overset{\frown}{BC}=\pi$. Επομένως η περίμετρος είναι $2\pi+3\pi+\pi=6\pi.$



2 σχόλια:

Λάμπρος Μαγκλάρας είπε...

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ
Αγαπητέ κύριε Ξενιτίδη, με την άσκηση αυτή, δίνετε μια καλή ευκαιρία να αποδείξουμε στα παιδιά, ότι ο ισχυρισμός (του αιτήματος κατά την διατύπωση της άσκησης) πως η καμπύλη είναι ή έχει μήκος, είναι απόλυτα ψευδής. Συνεπάγεται πως κατά την πρόοδο της απόδειξης περί του ψευδούς του άνω ισχυρισμού, θα δειχτεί και θα αποδειχτεί επομένως, ότι όπως ακριβώς δεν υπάρχουν άρρητα μεγέθη και αριθμοί εξαγόμενοι από το πυθαγόρειο θεώρημα, έτσι δεν υπάρχει (με αμιγώς μαθηματικά μέσα) το π=3,14… σαν σχέση διαμέτρου με την περιφέρεια κύκλου.

Σύμφωνα με τον Ευκλείδη:
ιε΄ [15]. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
Εάν η διάμετρος του κύκλου μαζί με την περιφέρεια, είναι 1, δηλαδή η διάμετρος έχει τα άκρα της επί της περιφέρειας, του κατά τον Ευκλείδη σχήματος (περιεχόμενο της περιφέρειας), τότε λέμε πως η περιφέρεια έχει μήκος π = 3,14… μέτρα, με χρησιμοποιούμενο μέτρο μήκους, αυτό με το οποίο μετράμε και το μήκος της διαμέτρου ή το κοινό μέτρο μήκους.
Θα σας εκπλήξω αγαπητέ κύριε Ξενιτίδη, ελπίζω ευχάριστα αφού θα διαπιστώσετε κάτι το οποίο έχει διαφύγει από όλη τη διαχρονική μαθηματική κοινότητα (δυστυχώς).
Υπάρχει αξίωμα στον Ευκλείδη που λέει: η΄ [8]. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].
Επομένως και χωρίς μάλιστα να χρειάζεται να διερευνήσουμε τον τύπο εύρεσης εμβαδού του κύκλου, σε επίκληση του πάνω αξιώματος, κάνουμε άμεσα με αυτά και μόνο τα δεδομένα, δύο αληθείς εκτιμήσεις στηριγμένες αφ` ενός στον ευκλείδειο όρο περί κύκλου και αφ` ετέρου στο αναφερόμενο αξίωμα περί όλου και μέρους – πάντα στον Ευκλείδη.
1. Υπάρχουν εν προκειμένω, ο κύκλος (περιεχόμενο σχήμα) και η περιφέρεια του κύκλου που συμμετέχει στην εκτίμηση του μήκους της διαμέτρου στον όλο υπολογισμό.
2. Αυτά τα δύο (κύκλος και περιφέρεια, όπως σαφώς ορίζονται σαν διαφορετικά γεωμετρικά αντικείμενο ή διαφορετικές γεωμετρικές οντότητες από τον μεγάλο μας δάσκαλο) έχουν σχέση περιέχοντος (περιφέρεια) και περιεχομένου (κύκλου).
Εκ των άνω συνάγεται, ότι επειδή η περιφέρεια περιέχει τον κύκλο, αυτή μαζί με το περιεχόμενο σχήμα καταλαμβάνουν μεγαλύτερη έκταση επί του επιπέδου, από αυτόν καθαυτόν τον περιεχόμενο κύκλο, αφού και η διάμετρος έχει άκρα την περιφέρεια όπως είπαμε.

Λάμπρος Μαγκλάρας είπε...

ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ
Επομένως (και σύμφωνα με το αξίωμα περί όλου και μέρους) ο κύκλος σαν έκταση επί του επιπέδου, έχει εμβαδόν μικρότερο από την έκταση (εμβαδόν) την οποία περικλείει η περιφέρεια μαζί με τον κύκλο. Το μέρος του εμβαδού είναι εμβαδόν. Η διαφορά:
«Εμβαδόν καλυπτόμενης επιφάνειας από την περιφέρεια – Εμβαδόν επιφάνειας κύκλου», συνεπάγεται πως είναι εμβαδόν (σαν διαφορά εμβαδών) και όχι μήκος.
Με άλλα λόγια και διερευνήστε το παρακαλώ, αποδεικνύεται πως η περιφέρεια κύκλου επειδή ανάλογα με τις εκτιμήσεις μας - που είναι θέμα επιλογής - συμμετέχει στην αύξηση ή μείωση του εμβαδού, είναι εμβαδόν και όχι μήκος. Έτσι η ψευδής αντίληψη πως η περιφέρεια είναι μήκος ή έχει μήκος, εκτρέπει τους γενόμενος υπολογισμούς σε άρρητο αφού δεν μπορείς να διαιρείς εμβαδόν (καμπύλη) με μήκος (διάμετρος) και να έχεις μήκος σαν αποτέλεσμα.
Αντιλαμβάνεστε πως το π=3,14… είναι απότοκο της διαίρεσης εμβαδού δια μήκους, μια διαίρεση την οποία αρνούνται οι συνεπείς αριθμοί να υπηρετήσουν και εκτρέπονται στο άρρητο π=3,14…
Από αυτή την απλή διαπίστωση (δεν είναι θέμα μας τώρα) μπορεί να διατυπωθεί συνεπής ορισμός που να αφορά την ευθεία σαν γραμμή που έχει την ιδιότητα να μην είναι εμβαδόν, όπως η περιφέρεια του κύκλου.
Στο πρόβλημα που έχετε θέσει λοιπόν, επειδή η περιφέρεια είναι αυτό καθαυτό εμβαδόν και τα μέρη της επομένως (ημικύκλια ή τα όποια τόξα) είναι επίσης εμβαδά.
Αυτό είναι το αληθές και αφού το διερευνήσετε είναι στο χέρι σας να κάνετε ότι θέλετε.
Παρακαλώ μη με αντιληφθείτε σαν δικό σας μπελά, αλλά σαν μπελά των διαχρονικών μαθηματικών που αυτοσχεδιάζουν…

ΥΓ: Το ίδιο ισχύει βέβαια και στη θεωρία συνόλων, διότι είναι άλλο σημειοσύνολο ο κύκλος με την περιφέρεια και άλλο αυτός καθαυτός ο κύκλος. Το ίδιο ισχύει και με τα πολυγωνικά χωρία (κυρτά πολύγωνα μαζί με τα εσωτερικά σημεία) αν συνεκτιμήσουμε ότι δύο σχήματα (σημειοσύνολα) έχουν ίσα εμβαδά αν και μόνο αν, είναι και ίσα. Στα πολυγωνικά χωρία δεν αποδεικνύεται ισότητα σχημάτων (σημειοσυνόλων) π.χ. μεταξύ ενός τετραγώνου με την γραμμική του περιφέρεια - δηλαδή του κυρτού πολυγώνου μαζί με τα εσωτερικά του σημεία - και του ίδιου τετραγώνου χωρίς την γραμμική του περιφέρεια.

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates