Τρίτη, 19 Απριλίου 2011

Πυθαγόρειες Τριάδες

Δημοσιεύω δύο πολύ ωραίες σελίδες σχετικά με τις πυθαγόρειες τριάδες.

Οι τριάδες των φυσικών αριθμών $x, y, z$  που συνδέονται με την σχέση $x^2 + y^2 = z^2$ λέγονται «Πυθαγόρειες τριάδες».
  • Υπάρχει τρόπος να βρούμε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες;
Οι πυθαγόρειες τριάδες είναι άπειρες. Έχει αποδειχθεί από τον Ευκλείδης ότι αν $\lambda, \mu$ είναι φυσικοί αριθμοί με $\lambda>\mu$ τότε οι $x=\lambda^2-\mu^2,y=2\lambda\mu, z=\lambda^2+\mu^2$ είναι μια Πυθαγόρεια τριάδα. Επίσης, Αν $x, y, z$  είναι Πυθαγόρεια τριάδα και $\kappa$ είναι φυσικός αριθμός, τότε οι $\kappa x, \kappa y, \kappa z$ αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα. Στη συνέχεια αποδείχθηκε από τον Διόφαντο ότι με την παραπάνω μέθοδο προκύπτουν όλες οι πυθαγόρειες τριάδες.

Στη σελίδα του Γιώργου Μαντζώλα υπάρχει μία πολύ ωραία εφαρμογή σε Geogebra με την οποία μπορούμε να εφαρμόσουμε την παραπάνω μέθοδο και να βρούμε πυθαγόρειες τριάδες.



  • Μπορούμε σε οποιαδήποτε (οξεία) γωνία να αντιστοιχίσουμε πυθαγόρεια τριάδα;
Μία πυθαγόρεια τριάδα είναι οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με όλες τις πλευρές του να είναι φυσικοί αριθμοί.

Προκύπτει ότι κοντά σε οποιαδηποτε οξεία γωνία μπορούμε να βρούμε πυθαγόρεια τριάδα.


Παραδείγματα:

  • "Κοντά" στο ορθογώνιο τρίγωνο με τις άλλες δύο γωνίες ίσες με 45 μοίρες υπάρχει το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 44.958868794206225 μοίρες και τις πλευρές του να αποτελούν την πυθαγόρεια τριάδα (697, 696, 985).
  • "Κοντά" στο ορθογώνιο τρίγωνο με την μία οξεία γωνία 30 μοίρες υπάρχει το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 29.862834356275112 μοίρες και τις πλευρές του να αποτελούν την πυθαγόρεια τριάδα (209, 120, 241).
  • "Κοντά" στο ορθογώνιο τρίγωνο με την μία οξεία γωνία 60 μοίρες υπάρχει το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 59.96327873769868 μοίρες και τις πλευρές του να αποτελούν την πυθαγόρεια τριάδα (451, 780, 901).
Δοκιμάστε να βρείτε κι άλλες πυθαγόρειες τριάδες σε αυτήν την σελίδα. Προφανώς αν εισάγουμε μία γωνία κοντά στην 90 - 29.862834356275112 θα πάρουμε την πυθαγόρεια τριάδα που πήραμε όταν εισάγαμε γωνία ίση με 30 μοίρες. Δοκιμάστε την γωνία 60,2 μοιρών.


1 σχόλια:

κ. Γιώργος είπε...

Στα βιβλία μου, βρίσκω και με άλλους τρόπους Πυθαγόρειες τριάδες φυσικών αριθμών .Πρώτο παράδειγμα: Με σταθερή την υποτείνουσα α= (5) (17) (26) = 2210 βρίσκω 3 Πυθαγόρειες τριάδες ( 2210 , 1326 , 1768) , (2210 , 1950 , 1040) , (2210 , 2040 , 850) .Όσο μεγαλώνω την σταθερή υποτείνουσα βρίσκω και περισσότερες Πυθαγόρειες τριάδες . Δεύτερο παράδειγμα
Με σταθερή την κάθετη πλευρά β=(3) (5) (7) (9)=945 βρίσκω 8 Πυθαγόρειες τριάδες . (945,49617,49608),(945,17873,17848),(945,9137,9088),(945,5553,5472),(945,977,248),(945,1233,792),(945,2097,1872),(945,446513,446512)
Αν συνεχίσω να μεγαλώνω την σταθερή κάθετη πλευρά τότε βρίσκω εκατομμύρια Πυθαγόρειες τριάδες . Φιλικότατα .

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates