Απόδειξη Χωρίς Λόγια (Nicomachus's theorem)

Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε την παρακάτω σχέση:

$$\left(\sum_{n=1}^k n\right)^2=\sum_{n=1}^k n^3$$

Απόδειξη. Το εμβαδόν του διπλανού σχήματος ισούται με:

$$(1+2+3+4+5+\cdots)^2=\left(\sum_{n=1}^k n\right)^2.$$

Επίσης το εμβαδόν ισούται με:

$$1\cdot 1^2+2\cdot 2^2+3\cdot 3^2+4\cdot 4^2+5\cdot 5^2+\cdots=\sum_{n=1}^k n^3.$$

Άρα $$\left(\sum_{n=1}^k n\right)^2=\sum_{n=1}^k n^3.$$

Tweet

Posted in: Άλγεβρα