Άσκηση στον Όγκο Πρίσματος

Άσκηση. Έστω $V_1$ ο όγκος μίας τετραγωνικής πυραμίδας και $V_2$ ο όγκος μίας τριγωνικής πυραμίδας (τετράεδρο). Ποιά είναι η σχέση μεταξύ των $V_1$ και $V_2$ αν οι ακμές και των δύο πυραμίδων είναι ίσες με 1 cm;

Λύση. Θυμόμαστε ότι ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου πρίσματος είναι ο:

$V=\dfrac{1}{3}E_B\cdot \upsilon$

Επομένως πρέπει να βρούμε το εμβαδόν βάσης και το ύψος κάθε πρίσματος. Στην τετραγωνική πυραμίδα το εμβαδόν βάσης είναι $1\ \text{cm}^2$ και το ύψος του πρίσματος είναι ίσο με το ύψος ισοσκελούς τριγώνου με βάση 1 cm και τις δύο ίσες πλευρές ίσες με το απόστημα του πρίσματος. Το απόστημα πρίσματος είναι ίσο με το ύψος  ενός ισοσκελούς τριγώνου πλευράς 1 cm.

Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι το απόστημα είναι ίσο με $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ και το ύψος του πρίσματος είναι ίσο με $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Επομένως,

$V_1=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$.

Στην τριγωνική πυραμίδα το εμβαδόν βάσης ισούται με $\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2$. Το ύψος του πρίσματος είναι ίσο με το ύψος ισοσκελούς τριγώνου με πλευρές $\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ και 1 (μιλάμε για το ύψος προς την πλευρά μήκους $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$).

Αν εφαρμόσουμε το πυθαγόρειο θεώρημα και στα δύο ορθογώνια τρίγωνα βρίσκουμε ότι $x=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$. Επομένως,

$V_2=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{1}{3\cdot 4}\cdot\dfrac{\sqrt{3\cdot 6}}{\sqrt{3^2}}=\dfrac{1}{12}\sqrt{\dfrac{18}{9}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$.

Άρα $V_1=2V_2$, δηλαδή ο όγκος της τετραγωνικής πυραμίδας είναι διπλάσιος από τον όγκο τριγωνικής πυραμίδας.

Tweet

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο