Κυριακή, 17 Απριλίου 2011

Τριγωνικοί Αριθμοί



Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός $T_n$ είναι το άθροισμα των πρώτων n ακεραίων.
$T_n=1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
π.χ. $T_5=1+2+3+4+5=15$. 
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα όπως το σχήμα, όπου βλέπουμε τον $T_4$. Δηλαδή ο $T_n$ είναι το πλήθος των κουκίδων σε ένα τριγωνικό σχέδιο όπως το διπλανό, με n κουκκίδες στην βάση του, n-1 στην επόμενη γραμμή, n-2 στην επόμενη κ.ο.κ. μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή όπου θα υπάρχει μόνο μία κουκκίδα.


Θα αποδείξουμε τις παρακάτω σχέσεις με την βοήθεια εικόνων.
  1. $3T_n+T_{n-1}=T_{2n}$
  2. $3T_n+T_{n+1}=T_{2n+1}$
  3. $(2k+1)T_n+T_{kn-1}=T_{(k+1)n}$ (γενίκευση της 1.)
  4. $T_n T_k+T_{n-1} T_{k-1}=T_{nk}$
1.
$3T_n+T_{n-1}=T_{2n}$
2.
$3T_n+T_{n+1}=T_{2n+1}$
3.
$(2k+1)T_n+T_{kn-1}=T_{(k+1)n}$
4.
$T_n T_k+T_{n-1} T_{k-1}=T_{nk}$


0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates