Τριγωνικοί Αριθμοί

Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός $T_n$ είναι το άθροισμα των πρώτων n ακεραίων.

$T_n=1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

π.χ. $T_5=1+2+3+4+5=15$. 

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα όπως το σχήμα, όπου βλέπουμε τον $T_4$. Δηλαδή ο $T_n$ είναι το πλήθος των κουκίδων σε ένα τριγωνικό σχέδιο όπως το διπλανό, με n κουκκίδες στην βάση του, n-1 στην επόμενη γραμμή, n-2 στην επόμενη κ.ο.κ. μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή όπου θα υπάρχει μόνο μία κουκκίδα.

Θα αποδείξουμε τις παρακάτω σχέσεις με την βοήθεια εικόνων.

1. $3T_n+T_{n-1}=T_{2n}$
2. $3T_n+T_{n+1}=T_{2n+1}$
3. $(2k+1)T_n+T_{kn-1}=T_{(k+1)n}$ (γενίκευση της 1.)
4. $T_n T_k+T_{n-1} T_{k-1}=T_{nk}$

1.

$3T_n+T_{n-1}=T_{2n}$

2.

$3T_n+T_{n+1}=T_{2n+1}$

3.

$(2k+1)T_n+T_{kn-1}=T_{(k+1)n}$

4.

$T_n T_k+T_{n-1} T_{k-1}=T_{nk}$

Tweet

Posted in: Αριθμοί,Τριγωνικοί Αριθμοί