Τρίτη, 19 Απριλίου 2011

Μαγικά Τετράγωνα και Σκάκι



Μαγικό τετράγωνο λέγεται ένας πίνακας, μεγέθους n x n που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το $n^2$ και έχει την ιδιότητα: Το άθροισμα των στηλών, των γραμμών (και των διαγωνίων) είναι σταθερό.
  • Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
  • Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
  • Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;
Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;

Το πρώτο μαγικό τετράγωνο επινοήθηκε από τον Leonhard Euler. Το παρακάτω μαγικό τετράγωνο δημοσιεύτηκε το 1848 από τον William Beverley.
Κάθε γραμμή και κάθε στήλη έχει άθροισμα 260. Κάθε μισή γραμμή και κάθε μισή στήλη έχει άθροισμα 130. Οι αριθμοί επίσης ακολουθούν τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι. Παρατηρούμε όμως ότι το παραπάνω τετράγωνο δεν είναι "διαγώνια" μαγικό. Έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει διαδρομή του ίππου που να δημιουργεί "διαγώνια" μαγικό τετράγωνο. Δείτε σχετικό άρθρο.

Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;

Το 1917 δημοσιεύτηκε το παρακάτω μαγικό τετράγωνο. Οι αριθμοί ακολουθούν τις κινήσεις ενός βασιλιά. Το άθροισμα των γραμμών, των στηλών και των διαγωνίων ισούται με 260.
Η διαδρομή του βασιλιά για το παραπάνω μαγικό τετράγωνο:


Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;

Η διαδικασία ακολουθεί τα παρακάτω βήματα:
  1. Ξεκινάμε από μία γωνία.
  2. Διαλέγουμε το τετραγωνάκι που είναι πιο μακρυά από το κέντρο.
  3. Όταν η απόσταση από το κέντρο είναι ίδια για δύο κουτάκια κινούμαστε αντίθετα από την φορά του ρολογιού.
Στο παρακάτω μαγικό τετράγωνο εφαρμόστηκε η παραπάνω διαδικασία.
Το έγγραφο είναι από εργασία στο προπτυχιακό μάθημα "Διακριτά Μαθηματικά".



0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates