Τρίτη, 24 Ιανουαρίου 2012

Πλακόστρωση Επιφανειών με Κανονικά Πολύγωνα



Είναι γνωστό ότι τα μόνα κανονικά πολύγωνα που καλύπτουν τέλεια μία επιφάνεια είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο.

Για ποιόν λόγο όμως συμβαίνει αυτό;







Θεωρούμε ένα $\nu$-γωνο και υποθέτουμε ότι καλύπτει τέλεια μία επιφάνεια, θα δείξουμε ότι $\nu=3$ ή $\nu=4$ ή $\nu=6$. Έστω $\theta$ η επίκεντρη γωνία του κανονικού $\nu$-γώνου. Τότε η γωνία του $\nu$-γώνου είναι ίση με $180-\theta$ και η εξωτερική γωνία του $\nu$-γώνου είναι ίση με $\theta$. Δείτε τα παρακάτω σχήματα για τα κανονικά εξάγωνα και τα ισόπλευρα τρίγωνα.

Παρατηρούμε ότι για να καλύπτεται μία επιφάνεια από κανονικά πολύγωνα η γωνία $2\theta$ θα πρέπει να είναι πολλαπλάσια της γωνίας $180-\theta$. Δηλαδή θα πρέπει να υπάρχει $k\in\mathbb{N}$ τέτοιο ώστε
$$k\cdot(180-\theta)=2\theta$$
$$\Rightarrow180k-k\theta=2\theta$$
$$\Rightarrow180k=\theta\cdot(k+2)$$
$$\Rightarrow\theta=\dfrac{180k}{k+2}$$

Επίσης θα πρέπει η γωνία $\theta$ να είναι γωνία κανονικού $\nu$-γώνου, δηλαδή θα πρέπει το $\dfrac{360}{\theta}$ να είναι ακέραιος. Άρα

$$\dfrac{360}{\theta}=\dfrac{\dfrac{360}{1}}{\dfrac{180k}{k+2}}=\dfrac{360\cdot(k+2)}{180k}=\dfrac{2k+4}{k}$$

Για να είναι το $\dfrac{2k+4}{k}$ ακέραιος θα πρέπει το $k$ να διαιρεί το $2k+4$.

$$k|(2k+4)$$
$$\Rightarrow k|4,\ \ \text{αφού}\ \ k|2k$$
Οι αριθμοί που διαιρούν το 4 είναι οι 1,2 και 4. Άρα για να είναι το $\dfrac{2k+4}{k}$ ακέραιος θα πρέπει το $k$ να είναι 1 ή 2 ή 4.

  • Για $k=1$ έχουμε $\nu=\dfrac{2\cdot 1+4}{1}=6$
  • Για $k=2$ έχουμε $\nu=\dfrac{2\cdot 2+4}{2}=4$
  • Για $k=4$ έχουμε $\nu=\dfrac{2\cdot 4+4}{4}=3$

Άρα τα κανονικά πολύγωνα που καλύπτουν τέλεια μία επιφάνεια είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο.


Παράδειγμα 5-γώνου:

                                                                                                                              



3 σχόλια:

Λάμπρος Μαγκλάρας είπε...

Μα, τι είναι αυτά που διδάσκετε αγαπητέ κύριε Κλεάνθη Ξενιτίδη; Σας παρακαλώ. έχουμε παιδιά. Δεν γνωρίζετε ότι 4 ίσα τετράγωνα πλακίδια δεν μπορούν να καλύψουν τέλεια μία τετράγωνη επίπεδη επιφάνεια; Το ίδιο βέβαια ισχύει και με τα ισόπλευρα τρίγωνα, καθώς και με τα ισοσκελή ορθογώνια. Ακόμα εκεί είσαστε;
Παρακαλώ θερμά να αφαιρέσετε την ανάρτηση ή να την διορθώσετε. Αν θέλετε να σας εξηγήσω το σφάλμα σας είμαι στη διάθεσή σας.
Λάμπρος Μαγκλάρας και ζητώ την κατανόησή σας για το ύφος μου αλλά αυτό που κάνετε πάει πολύ.

Κλεάνθης Ξενιτίδης είπε...

ελπίζω να σας καλύπτει η απάντηση μου στο άλλο παρόμοιο σχόλιο

http://theorhma.blogspot.gr/2011/05/geogebra.html?showComment=1342139029974#c1943175267691772489

Επίσης περιμένω τεκμηριωμένη απάντηση όχι σε σχόλιο αλλά σε ανάρτηση στο blog σας.

Λάμπρος Μαγκλάρας είπε...

Και εγώ ελπίζω αγαπητέ κύριε Ξενιτίδη να σας καλύπτει η απάντησή μου (που είναι απάντηση της ΕΜΕ) και την οποία έχω δημοσιεύσει στην ανάρτησή σας περί πυθαγορείου θεωρήματος με πλακοστρώσεις.

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates