Πλακόστρωση Επιφανειών με Κανονικά Πολύγωνα

Είναι γνωστό ότι τα μόνα κανονικά πολύγωνα που καλύπτουν τέλεια μία επιφάνεια είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο.

Για ποιόν λόγο όμως συμβαίνει αυτό;

Θεωρούμε ένα $\nu$-γωνο και υποθέτουμε ότι καλύπτει τέλεια μία επιφάνεια, θα δείξουμε ότι $\nu=3$ ή $\nu=4$ ή $\nu=6$. Έστω $\theta$ η επίκεντρη γωνία του κανονικού $\nu$-γώνου. Τότε η γωνία του $\nu$-γώνου είναι ίση με $180-\theta$ και η εξωτερική γωνία του $\nu$-γώνου είναι ίση με $\theta$. Δείτε τα παρακάτω σχήματα για τα κανονικά εξάγωνα και τα ισόπλευρα τρίγωνα.

Παρατηρούμε ότι για να καλύπτεται μία επιφάνεια από κανονικά πολύγωνα η γωνία $2\theta$ θα πρέπει να είναι πολλαπλάσια της γωνίας $180-\theta$. Δηλαδή θα πρέπει να υπάρχει $k\in\mathbb{N}$ τέτοιο ώστε

$$k\cdot(180-\theta)=2\theta$$

$$\Rightarrow180k-k\theta=2\theta$$

$$\Rightarrow180k=\theta\cdot(k+2)$$

$$\Rightarrow\theta=\dfrac{180k}{k+2}$$

Επίσης θα πρέπει η γωνία $\theta$ να είναι γωνία κανονικού $\nu$-γώνου, δηλαδή θα πρέπει το $\dfrac{360}{\theta}$ να είναι ακέραιος. Άρα

$$\dfrac{360}{\theta}=\dfrac{\dfrac{360}{1}}{\dfrac{180k}{k+2}}=\dfrac{360\cdot(k+2)}{180k}=\dfrac{2k+4}{k}$$

Για να είναι το $\dfrac{2k+4}{k}$ ακέραιος θα πρέπει το $k$ να διαιρεί το $2k+4$.

$$k|(2k+4)$$
$$\Rightarrow k|4,\ \ \text{αφού}\ \ k|2k$$

Οι αριθμοί που διαιρούν το 4 είναι οι 1,2 και 4. Άρα για να είναι το $\dfrac{2k+4}{k}$ ακέραιος θα πρέπει το $k$ να είναι 1 ή 2 ή 4.

• Για $k=1$ έχουμε $\nu=\dfrac{2\cdot 1+4}{1}=6$

• Για $k=2$ έχουμε $\nu=\dfrac{2\cdot 2+4}{2}=4$

• Για $k=4$ έχουμε $\nu=\dfrac{2\cdot 4+4}{4}=3$

Άρα τα κανονικά πολύγωνα που καλύπτουν τέλεια μία επιφάνεια είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο.

Παράδειγμα 5-γώνου:

                                                                                                                              

Tweet

Posted in: Γεωμετρία,Κανονικά Πολύγωνα