Άσκηση στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Διανύσματα) (GeoGebra)

Στο σχήμα το $AB\Gamma\Delta$ είναι τραπέζιο με $(ΑΒ)=2(\Gamma\Delta)$, το $KA\Lambda B$ παραλληλόγραμμο και το $I$ μέσο του $\Gamma\Delta$. Να αποδείξετε ότι:

1. $\overrightarrow{K\Gamma}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KA}$ και $\overrightarrow{K\Delta}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KB}$
2. τα σημεία $I,K,\Lambda$ είναι συνευθειακά.

ΛΥΣΗ


1.


Το $AB\Gamma\Delta$ είναι τραπέζιο άρα το $\overrightarrow{\Delta\Gamma}$ είναι παράλληλο με το $\overrightarrow{ΑΒ}$. Επομένως
$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} &=&2 \overrightarrow{\Delta\Gamma} \\ \overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}&=&2\overrightarrow{\Delta K} +2\overrightarrow{K\Gamma} \\ \overrightarrow{AK}-2\overrightarrow{K\Gamma} &=& 2\overrightarrow{\Delta K}-\overrightarrow{KB}  \end{eqnarray*}$$

Προφανώς το διάνυσμα στο αριστερό μέρος της ισότητας είναι παράλληλο με την διαγώνιο $\overrightarrow{A\Gamma}$ και το διάνυσμα στο δεξί μέρος της ισότητας είναι παράλληλο με την διαγώνιο $\overrightarrow{B\Delta}$. Δηλαδή έχουμε ένα διάνυσμα το οποίο είναι παράλληλο και με τις δύο διαγωνίους ενός τραπεζίου. Αυτό το διάνυσμα μπορεί να είναι μόνο το μηδενικό διάνυσμα. Επομένως,
$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AK}-2\overrightarrow{K\Gamma} &=&\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{AK}&=& 2\overrightarrow{K\Gamma}\\ -\overrightarrow{KA}&=& 2\overrightarrow{K\Gamma}\\ \overrightarrow{K\Gamma}&=& -\frac{1}{2}\overrightarrow{KA} \end{eqnarray*}$$

και


$$\begin{eqnarray*} 2\overrightarrow{\Delta K}-\overrightarrow{KB} &=& \overrightarrow{0}\\ 2\overrightarrow{\Delta K} &=& \overrightarrow{KB}\\ -2\overrightarrow{K\Delta}&=&\overrightarrow{KB}\\ \overrightarrow{K\Delta}&=&-\frac{1}{2}\overrightarrow{KB} \end{eqnarray*}$$



2.

Το $I$ είναι το μέσο του $\overrightarrow{\Delta\Gamma}$, άρα


$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{KI}&=& \frac{1}{2}\overrightarrow{K\Delta}+\frac{1}{2}\overrightarrow{K\Gamma}\\ &=& \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\overrightarrow{KB})+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\overrightarrow{KA})\\ &=&-\frac{1}{4}\overrightarrow{KB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{KA}\\ &=&-\frac{1}{4}\overrightarrow{Α\Lambda} - \frac{1}{4}\overrightarrow{KA}\\ &=&\frac{1}{4}\overrightarrow{\Lambda A}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AK}\\ \overrightarrow{KI} &=& \frac{1}{4} \overrightarrow{\Lambda K} \end{eqnarray*}$$


Επομένως τα $K,I$ και $\Lambda$ είναι συνευθειακά.

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Tweet

Posted in: Β Λυκείου,Διανύσματα,Λύκειο,Geogebra