Τετάρτη, 21 Σεπτεμβρίου 2011

Άσκηση στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου (Διανύσματα) (GeoGebra)


Στο σχήμα το $AB\Gamma\Delta$ είναι τραπέζιο με $(ΑΒ)=2(\Gamma\Delta)$, το $KA\Lambda B$ παραλληλόγραμμο και το $I$ μέσο του $\Gamma\Delta$. Να αποδείξετε ότι:

  1. $\overrightarrow{K\Gamma}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KA}$ και $\overrightarrow{K\Delta}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KB}$
  2. τα σημεία $I,K,\Lambda$ είναι συνευθειακά.




ΛΥΣΗ


1.


Το $AB\Gamma\Delta$ είναι τραπέζιο άρα το $\overrightarrow{\Delta\Gamma}$ είναι παράλληλο με το $\overrightarrow{ΑΒ}$. Επομένως
$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} &=&2 \overrightarrow{\Delta\Gamma} \\ \overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}&=&2\overrightarrow{\Delta K} +2\overrightarrow{K\Gamma} \\
\overrightarrow{AK}-2\overrightarrow{K\Gamma} &=& 2\overrightarrow{\Delta K}-\overrightarrow{KB}
 \end{eqnarray*}$$

Προφανώς το διάνυσμα στο αριστερό μέρος της ισότητας είναι παράλληλο με την διαγώνιο $\overrightarrow{A\Gamma}$ και το διάνυσμα στο δεξί μέρος της ισότητας είναι παράλληλο με την διαγώνιο $\overrightarrow{B\Delta}$. Δηλαδή έχουμε ένα διάνυσμα το οποίο είναι παράλληλο και με τις δύο διαγωνίους ενός τραπεζίου. Αυτό το διάνυσμα μπορεί να είναι μόνο το μηδενικό διάνυσμα. Επομένως,
$$\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{AK}-2\overrightarrow{K\Gamma} &=&\overrightarrow{0}\\
\overrightarrow{AK}&=& 2\overrightarrow{K\Gamma}\\
-\overrightarrow{KA}&=& 2\overrightarrow{K\Gamma}\\
\overrightarrow{K\Gamma}&=& -\frac{1}{2}\overrightarrow{KA}
\end{eqnarray*}$$

και


$$\begin{eqnarray*}
2\overrightarrow{\Delta K}-\overrightarrow{KB} &=& \overrightarrow{0}\\
2\overrightarrow{\Delta K} &=& \overrightarrow{KB}\\
-2\overrightarrow{K\Delta}&=&\overrightarrow{KB}\\
\overrightarrow{K\Delta}&=&-\frac{1}{2}\overrightarrow{KB}
\end{eqnarray*}$$



2.

Το $I$ είναι το μέσο του $\overrightarrow{\Delta\Gamma}$, άρα


$$\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{KI}&=& \frac{1}{2}\overrightarrow{K\Delta}+\frac{1}{2}\overrightarrow{K\Gamma}\\
&=& \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\overrightarrow{KB})+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\overrightarrow{KA})\\
&=&-\frac{1}{4}\overrightarrow{KB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{KA}\\
&=&-\frac{1}{4}\overrightarrow{Α\Lambda} - \frac{1}{4}\overrightarrow{KA}\\
&=&\frac{1}{4}\overrightarrow{\Lambda A}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AK}\\
\overrightarrow{KI} &=& \frac{1}{4} \overrightarrow{\Lambda K}
\end{eqnarray*}$$


Επομένως τα $K,I$ και $\Lambda$ είναι συνευθειακά.

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

3 σχόλια:

Χατζόπουλος Μάκης είπε...

Κλεάνθη έχω μια επίσης κομψή απόδειξη! Αν θες την ανεβάζω!

Επίσης, πως έβαλες το Geogebra στο κείμενό σου; Είναι επεξεργάσιμο γι αυτό ρωτώ!!

Κλεάνθης Ξενιτίδης είπε...

Φυσικά αν θες την ανεβάζεις.

Όσο για το GeoGebra υπάρχει αυτή η σελίδα
http://www.geogebra.org/en/upload/index.php?
στην οποία μπορείς να κάνεις λογαριασμό και να ανεβάζεις αρχεία GeoGebra.

Η διαδικασία είναι ως εξής:
Φτιάχνεις το σχήμα που θέλεις στο πρόγραμμα, το αποθηκεύεις ως .ggb και ως .html, ανεβάζεις και τα δύο στον φάκελο που έχεις δημιουργήσει στην παραπάνω σελίδα.
Αν πατήσεις πάνω στο html σου ανοίγει ένα καινούριο tab στο οποίο μπορείς να επεξεργαστείς το σχήμα. Μπορείς αν δεν θέλεις να μπει στην ανάρτησή σου το σχήμα, να κάνεις ένα link σε αυτήν την σελίδα. Διαφορετικά αν θέλεις να φαίνεται όπως το δικό μου, πηγαίνεις στην σελίδα και κάνεις δεξί κλικ και προβολή κώδικα σελίδας, βρίσκεις το σημείο όπου λέει

< applet ........... < / applet >

και το κάνεις copy paste στην ανάρτηση. Μπορείς από τις μεταβλητές width="1280" height="634" να επεξεργαστείς και τις διαστάσεις ώστε να φαίνεται "όμορφο".

Συγνώμη αν η εξήγηση είναι πολύ βιαστική. Θα κοιτάξω από την επόμενη εβδομάδα να κάνω μία ανάρτηση με αναλυτικές οδηγίες.

Χατζόπουλος Μάκης είπε...

Κλεάνθη τώρα είδα την απάντησή σου (δεν έρχεται ενημερωτικό e-mail για να ειδοποίηση ότι κάποιος έγραψε στα σχόλια) και σε ευχαριστώ πολύ!!!

Νομίζω ότι μετά το Latex χρωστάς μια τέτοια δημοσίευση!

Όσο για την άσκηση θα στην στείλω με e-mail.

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates