Τετάρτη, 18 Μαΐου 2011

Άσκηση στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

Άσκηση
Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$, προεκτείνουμε την πλευρά $B\Gamma$ προς το σημείο $B$ απόσταση ίση με την πλευρά $AB$ και προς το σημείο $\Gamma$ απόσταση ίση με την πλευρά $A\Gamma$ (όπως το σχήμα).
  1. Να υπολογίσετε την γωνία $\hat{\Gamma A B'}$.
  2. Να υπολογίσετε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ του τριγώνου.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)



Λύση

1.

Το τρίγωνο $ABB'$ είναι ισοσκελές αφού $AB=BB'$, έστω $x$ οι δύο ίσες γωνίες του. Όμοια το τρίγωνο $A\Gamma\Gamma'$ είναι ισοσκελές, έστω $y$ οι δύο ίσες γωνίες του. Η γωνία που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι ίση με $90\mathring{}+x+y$.
Έχουμε:
$$\hat{B_{\text{Εξ}}}+\hat{B}+\hat{\Gamma_{\text{Εξ}}}+\hat{\Gamma}=360\mathring{}$$
Όμως,
$$\hat{B_{\text{Εξ}}}=180\mathring{}-2x\ \   \text{και}\ \ \  \hat{\Gamma_{\text{Εξ}}}=180\mathring{}-2y$$ και $$\hat{B}+\hat{\Gamma}=90\mathring{}$$
Επομένως,
$$(180\mathring{}-2x)+90\mathring{}+(180\mathring{}-2y)=360\mathring{}$$
$$\Rightarrow 90\mathring{}+x+y=135\mathring{}.$$

2.


$$\hat{B_{\text{Εξ}}}+\hat{\Gamma_{\text{Εξ}}}=(180\mathring{}-\hat{B})+(180\mathring{}-\hat{\Gamma})=360\mathring{}-(\hat{B}+\hat{\Gamma})=270\mathring{}.$$


0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates