Λύσεις στα Επαναληπτικά Θέματα της Β Γυμνασίου (Άλγεβρα)

Σε αυτήν την ανάρτηση υπάρχουν οι λύσεις από τις εφτά πρώτες ασκήσεις της προηγούμενης ανάρτησης "Επαναληπτικά θέματα - Β' γυμνασίου".

άσκηση 1


Να λύσετε την εξίσωση: $\dfrac{2(x-3)}{5}-\dfrac{3(x-2)}{4}=1$.

λύση
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του $5$ και του $4$ είναι το 20, επομένως θα πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη τις εξίσωσης με το 20.
\begin{eqnarray*}
 20\dfrac{2(x-3)}{5}-20\dfrac{3(x-2)}{4}&=&20\\
 4\cdot 2(x-3)-5\cdot 3(x-2)&=&20\\
 8(x-3)-15(x-2)&=&20\\
 8x-24-15x+30&=&20\\
 8x-15x&=&20-30+24\\
 -7x&=&14\\
 \dfrac{-7x}{-7}&=&\dfrac{14}{-7}\\
 x&=&-2
\end{eqnarray*}

άσκηση 2


Η γωνία $\hat{B}$ ενός τριγώνου είναι τα $\dfrac{3}{5}$ της γωνίας $\hat{A}$ και η γωνία $\hat{\Gamma}$ είναι το $\dfrac{1}{3}$ της γωνίας $\hat{B}$. Να υπολογισοτύν οι γωνίες του τριγώνου.


λύση
$$\hat{B}=\frac{3}{5}\hat{A}\Leftrightarrow \hat{A}=\frac{5}{3}\hat{B}$$
και
$$\hat{\Gamma}=\frac{1}{3}\hat{B}.$$
Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι $180\mathring{}$, άρα:
\begin{eqnarray*}
 \hat{A}+\hat{B}+\hat{\Gamma}&=&180\\
 \frac{5}{3}\hat{B}+\hat{B}+\frac{1}{3}\hat{B}&=&180\\
 \frac{9}{3}\hat{B}&=&180\\
 3\hat{B}&=&180\\
 \hat{B}&=&\dfrac{180}{3}=60.
\end{eqnarray*}
Αντικαθίστώντας στις παραπάνω σχέσεις έχουμε:
$$\hat{A}=\frac{5}{3}60=100$$
$$\hat{\Gamma}=\frac{1}{3}60=20.$$


άσκηση 3

Να λύσετε την ανίσωση: $\dfrac{x+2}{4}<\dfrac{2x-5}{3}<\dfrac{3x+1}{4}$.

λύση
Χωρίζουμε την ανίσωση στις δύο παρακάτω ανισώσεις και λύνουμε την καθεμία ξεχωριστά. Στη συνέχεια βρίσκουμε τις κοινές λύσεις.

$\dfrac{x+2}{4}< \dfrac{2x-5}{3}$    και    $\dfrac{2x-5}{3}<\dfrac{3x+1}{4}$

\begin{eqnarray*}
 \dfrac{x+2}{4}&<& \dfrac{2x-5}{3}\\
 3(x+2)&<&4(2x-5)\\
 3x+6&<&8x-20\\
 3x-8x&<&-20-6\\
 -5x&<&-26\\
 x&>&\dfrac{-26}{-5}\\
 x&>&\dfrac{26}{5}
\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
 \dfrac{2x-5}{3}&<&\dfrac{3x+1}{4}\\
 8x-20&<&9x+3\\
 8x-9x&<&3+20\\
 -x&<&23\\
 x&>&-23
\end{eqnarray*}

Επομένως αρκεί να βρούμε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων $x>\dfrac{26}{5}$ και $x>-23$. Οι κοινές λύσεις φαίνονται στην μπλε περιοχή του παρακάτω σχήματος.

άσκηση 4

Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε τις εξισώσεις: $y=2x,\ y=-2x$
και $y=\dfrac{1}{2}x$.

λύση
Οι εξισώσεις είναι της μορφής $y=\alpha x$. Επομένως για την κάθε μία θα βρούμε ένα σημείο από το οποίο διέρχεται (εκτός από το $(0,0)$) και στην συνέχεια θα εννόσουμε αυτό το σημείο με το σημείο $(0,0)$.

\no{Για} την $y=2x$ έχουμε:

$\begin{array}{l|l}
x & 1\\
\hline
y & 2
\end{array}$


\no{Για} την $y=-2x$ έχουμε:

$\begin{array}{l|l}
x & 1\\
\hline
y & -2
\end{array}$


Για την $y=\dfrac{1}{2}x$ έχουμε:

$\begin{array}{l|l}
x & 1\\
\hline
y & \frac{1}{2}
\end{array}$

Επομένως τα σημεία από τα οποία διέρχονται οι ευθείες $y=2x,\ y=-2x$
και $y=\dfrac{1}{2}x$ είναι τα $(1,2),(1,-2)$ και $(1,\frac{1}{2})$ αντίστοιχα.

άσκηση 5

Να βρείτε την εξίσωση της ευθέιας:

1.  $\varepsilon_1$ που διέρχεται από τα σημεία $(0,0)$ και $(5,2)$.
2. $\varepsilon_2$ που διέρχεται από το σημείο $(0,4)$ και έχει κλίση $2$.

λύση

1. Γνωρίζουμε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο $(0,0)$, επομένως είναι της μορφής $y=\alpha x$. Αρκεί να βρούμε το $\alpha$, δηλαδή την κλίση. Για να βρούμε την κλίση της ευθείας θα διαιρέσουμε την τεταγμένη του σημείου $(5,2)$ με την τετμημένη του. Επομένως $\alpha=\dfrac{2}{5}$ και η ευθεία που ψάχνουμε είναι η $y=\dfrac{2}{5}x$.
2. Επισκεφθείτε το blog του φίλου Μαθηματικού Γιάννη Βραϊμάκη "Μαθηματικά Θέματα" για να δείτε την λυση.

άσκηση 6

Να βρείτε σε ποια σημεία η ευθεία $4x+9y=6$ τέμνει τους άξονες.

λύση

Για να βρούμε σε ποιο σημείο η ευθεία τέμνει τον άξονα $xx'$ θέτουμε $y=0$ και έχουμε:
\begin{eqnarray*}
 4x+9\cdot 0&=& 6\\
 4x&=&6\\
 x&=&\dfrac{6}{4}\\
 x&=&\dfrac{3}{2}
\end{eqnarray*}
Επομένως το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα $xx'$ είναι το $(\frac{3}{2},0)$.
Όμοια για να βρούμε σε ποιό σημείο η ευθεία τέμνει τον άξονα $yy'$ θέτουμε $x=0$ και έχουμε:
\begin{eqnarray*}
 4\cdot 0+9y&=& 6\\
 9y&=&6\\
 y&=&\dfrac{6}{9}\\
 y&=&\dfrac{2}{3}
\end{eqnarray*}
Επομένως το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα $yy'$ είναι το
$(0,\frac{2}{3})$


άσκηση 7

Σε ένα internet cafe η χρέωση ανα ώρα είναι 2 ευρώ. Ένας πελάτης χρησιμοποίησε και μία κάμερα, για να πραγματοποιήσει μία βιντεοκλήση. Η κάμερα χρεώνεται 1 ευρώ ανεξάρτητα από την ώρα που την χρησιμοποιεί ο πελάτης. Να εκφράσεται το ποσό $y$ που θα πληρώσει ο πελάτης ως συνάρτηση του χρόνου $x$.

λύση

Για μία ώρα ο πελάτης θα πληρώσει 2 ευρώ για την κανονική χρέωση και 1 ευρώ για την κάμερα.
Για δύο ώρες θα πληρώσει $2\cdot 2 +1$ ευρώ.
Για τρεις ώρες θα πληρώσει $2\cdot 3 +1$ ευρώ.
Για τέσσερις ώρες θα πληρώσει $2\cdot 4 +1$ ευρώ κ.ο.κ.
Συμπεραίνουμε ότι για $x$ ώρες θα πληρώσει $2x+1$ ευρώ. Επομένως η συνάρτηση που ψάχνουμε είναι η
$y=2x+1$.


Print This Post     Tweet

Posted in: Άλγεβρα,Β Γυμνασίου,Γυμνάσιο