Σε αυτήν την ανάρτηση υπάρχουν οι λύσεις από τις εφτά πρώτες ασκήσεις της προηγούμενης ανάρτησης "Επαναληπτικά θέματα - Β' γυμνασίου".
άσκηση 1
Να λύσετε την εξίσωση: \dfrac{2(x-3)}{5}-\dfrac{3(x-2)}{4}=1.
λύση
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 4 είναι το 20, επομένως θα πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη τις εξίσωσης με το 20.
\begin{eqnarray*} 20\dfrac{2(x-3)}{5}-20\dfrac{3(x-2)}{4}&=&20\\ 4\cdot 2(x-3)-5\cdot 3(x-2)&=&20\\ 8(x-3)-15(x-2)&=&20\\ 8x-24-15x+30&=&20\\ 8x-15x&=&20-30+24\\ -7x&=&14\\ \dfrac{-7x}{-7}&=&\dfrac{14}{-7}\\ x&=&-2 \end{eqnarray*}
άσκηση 2
Η γωνία \hat{B} ενός τριγώνου είναι τα \dfrac{3}{5} της γωνίας \hat{A} και η γωνία \hat{\Gamma} είναι το \dfrac{1}{3} της γωνίας \hat{B}. Να υπολογισοτύν οι γωνίες του τριγώνου.
λύση
\hat{B}=\frac{3}{5}\hat{A}\Leftrightarrow \hat{A}=\frac{5}{3}\hat{B}
και
\hat{\Gamma}=\frac{1}{3}\hat{B}.
Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180\mathring{}, άρα:
\begin{eqnarray*} \hat{A}+\hat{B}+\hat{\Gamma}&=&180\\ \frac{5}{3}\hat{B}+\hat{B}+\frac{1}{3}\hat{B}&=&180\\ \frac{9}{3}\hat{B}&=&180\\ 3\hat{B}&=&180\\ \hat{B}&=&\dfrac{180}{3}=60. \end{eqnarray*}
Αντικαθίστώντας στις παραπάνω σχέσεις έχουμε:
\hat{A}=\frac{5}{3}60=100
\hat{\Gamma}=\frac{1}{3}60=20.
άσκηση 3
Να λύσετε την ανίσωση: \dfrac{x+2}{4}<\dfrac{2x-5}{3}<\dfrac{3x+1}{4}.
λύση
Χωρίζουμε την ανίσωση στις δύο παρακάτω ανισώσεις και λύνουμε την καθεμία ξεχωριστά. Στη συνέχεια βρίσκουμε τις κοινές λύσεις.
\dfrac{x+2}{4}< \dfrac{2x-5}{3} και \dfrac{2x-5}{3}<\dfrac{3x+1}{4}
\begin{eqnarray*}
\dfrac{x+2}{4}&<& \dfrac{2x-5}{3}\\
3(x+2)&<&4(2x-5)\\
3x+6&<&8x-20\\
3x-8x&<&-20-6\\
-5x&<&-26\\
x&>&\dfrac{-26}{-5}\\
x&>&\dfrac{26}{5}
\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} \dfrac{2x-5}{3}&<&\dfrac{3x+1}{4}\\ 8x-20&<&9x+3\\ 8x-9x&<&3+20\\ -x&<&23\\ x&>&-23 \end{eqnarray*}
Επομένως αρκεί να βρούμε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων x>\dfrac{26}{5} και x>-23. Οι κοινές λύσεις φαίνονται στην μπλε περιοχή του παρακάτω σχήματος.
άσκηση 4
Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε τις εξισώσεις: y=2x,\ y=-2x
και y=\dfrac{1}{2}x.
λύση
Οι εξισώσεις είναι της μορφής y=\alpha x. Επομένως για την κάθε μία θα βρούμε ένα σημείο από το οποίο διέρχεται (εκτός από το (0,0)) και στην συνέχεια θα εννόσουμε αυτό το σημείο με το σημείο (0,0).
\no{Για} την y=2x έχουμε:
\begin{array}{l|l} x & 1\\ \hline y & 2 \end{array}
\no{Για} την y=-2x έχουμε:
\begin{array}{l|l} x & 1\\ \hline y & -2 \end{array}
Για την y=\dfrac{1}{2}x έχουμε:
\begin{array}{l|l} x & 1\\ \hline y & \frac{1}{2} \end{array}
Επομένως τα σημεία από τα οποία διέρχονται οι ευθείες y=2x,\ y=-2x
και y=\dfrac{1}{2}x είναι τα (1,2),(1,-2) και (1,\frac{1}{2}) αντίστοιχα.
άσκηση 5
Να βρείτε την εξίσωση της ευθέιας:
- \varepsilon_1 που διέρχεται από τα σημεία (0,0) και (5,2).
- \varepsilon_2 που διέρχεται από το σημείο (0,4) και έχει κλίση 2.
λύση
- Γνωρίζουμε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο (0,0), επομένως είναι της μορφής y=\alpha x. Αρκεί να βρούμε το \alpha, δηλαδή την κλίση. Για να βρούμε την κλίση της ευθείας θα διαιρέσουμε την τεταγμένη του σημείου (5,2) με την τετμημένη του. Επομένως \alpha=\dfrac{2}{5} και η ευθεία που ψάχνουμε είναι η y=\dfrac{2}{5}x.
- Επισκεφθείτε το blog του φίλου Μαθηματικού Γιάννη Βραϊμάκη "Μαθηματικά Θέματα" για να δείτε την λυση.
Να βρείτε σε ποια σημεία η ευθεία 4x+9y=6 τέμνει τους άξονες.
λύση
Για να βρούμε σε ποιο σημείο η ευθεία τέμνει τον άξονα xx' θέτουμε y=0 και έχουμε:
\begin{eqnarray*} 4x+9\cdot 0&=& 6\\ 4x&=&6\\ x&=&\dfrac{6}{4}\\ x&=&\dfrac{3}{2} \end{eqnarray*}
Επομένως το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα xx' είναι το (\frac{3}{2},0).
Όμοια για να βρούμε σε ποιό σημείο η ευθεία τέμνει τον άξονα yy' θέτουμε x=0 και έχουμε:
\begin{eqnarray*} 4\cdot 0+9y&=& 6\\ 9y&=&6\\ y&=&\dfrac{6}{9}\\ y&=&\dfrac{2}{3} \end{eqnarray*}
Επομένως το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα yy' είναι το
(0,\frac{2}{3})
άσκηση 7
Σε ένα internet cafe η χρέωση ανα ώρα είναι 2 ευρώ. Ένας πελάτης χρησιμοποίησε και μία κάμερα, για να πραγματοποιήσει μία βιντεοκλήση. Η κάμερα χρεώνεται 1 ευρώ ανεξάρτητα από την ώρα που την χρησιμοποιεί ο πελάτης. Να εκφράσεται το ποσό y που θα πληρώσει ο πελάτης ως συνάρτηση του χρόνου x.
λύση
Για μία ώρα ο πελάτης θα πληρώσει 2 ευρώ για την κανονική χρέωση και 1 ευρώ για την κάμερα.
Για δύο ώρες θα πληρώσει 2\cdot 2 +1 ευρώ.
Για τρεις ώρες θα πληρώσει 2\cdot 3 +1 ευρώ.
Για τέσσερις ώρες θα πληρώσει 2\cdot 4 +1 ευρώ κ.ο.κ.
Συμπεραίνουμε ότι για x ώρες θα πληρώσει 2x+1 ευρώ. Επομένως η συνάρτηση που ψάχνουμε είναι η
y=2x+1.
0 σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου