Μέθοδος Κατασκευής Κανονικού Πενταγώνου

Μία μέθοδος κατασκευής του κανονικού πενταγώνου είναι η ακόλουθη όπως φαίνεται στο σχήμα. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί προκύπτει κανονικό πεντάγωνο; Δείτε και επεξεργαστείτε το σχήμα σε GeoGebra πατώντας εδώ. Απαιτεί java.

Λύση. 

Έστω $r$ η ακτίνα του κύκλου. Έχουμε:

$\tan\hat{OA\Delta}=\dfrac{r}{\frac{1}{2}r}\Rightarrow\hat{OA\Delta}=\arctan (2)$

$\Rightarrow \hat{OAE}=\dfrac{\arctan(2)}{2}\Rightarrow \tan(\hat{OAE})=\tan\left(\dfrac{\arctan(2)}{2} \right)$

Όμως $\tan(\hat{OAE})=\dfrac{OE}{\frac{1}{2}r}$, άρα

$\tan\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right)\dfrac{1}{2}r=OE$

Τέλος θα υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας $\theta$.

$\cos\theta=\dfrac{OE}{r}=\dfrac{1}{2}\tan\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right)$

$\Rightarrow \theta = \arccos\left( \dfrac{1}{2}\tan\left( \dfrac{\arctan(2)}{2} \right) \right)$.

Με ένα υπολογιστικό πρόγραμμα, για παράδειγμα το mathematica, μπορούμε να υπολογίσουμε την παραπάνω ποσότητα. Έχουμε $\theta=72\mathring{}$. Δηλαδή η $\Gamma\Delta$ είναι πλευρά κανονικού πενταγώνου, αφού $\dfrac{360}{5}=72.$

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Tweet

Posted in: Β Γυμνασίου,Γ Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Εγγεγραμμένες γωνίες,Geogebra