Ανισώσεις και Γεωμετρία

Ένα φυλλάδιο με παραδείγματα ασκήσεων που συνδυάζουν ανισώσεις και γεωμετρία για την Β' Γυμνασίου.

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο

Απόδειξη του θεωρήματος του Θαλή

Θα δούμε μία απόδειξη του Θεωρήματος του Θαλή στην οποία δεν χρειάζεται να κάνουμε τον διαχωρισμό μεταξύ σύμμετρων και ασσύμετρων ευθύγραμμων τμημάτων όπως γίνεται στο σχολικό βιβλίο της Ευκλείδιας Γεωμετρίας.

Read more »

Posted in: Β Λυκείου,Γεωμετρία,Θεώρημα του Θαλή,Λύκειο

Πλακόστρωση Επιφανειών με Κανονικά Πολύγωνα

Είναι γνωστό ότι τα μόνα κανονικά πολύγωνα που καλύπτουν τέλεια μία επιφάνεια είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο.

Για ποιόν λόγο όμως συμβαίνει αυτό;

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Κανονικά Πολύγωνα

Το Πρόβλημα του Fagnano (GeoGebra)

Στις πλευρές ενός οξυγώνιου τριγώνου ABC να βρεθούν τρία σημεία D,E,F διαφορετικά από τις κορυφές του, τέτοια ώστε η περίμετρος του τριγώνου DEF να είναι ελάχιστη.

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Τρίγωνο,Geogebra

Άσκηση στην Γεωμετρία 5 (GeoGebra)

Θεωρούμε δύο εξωτερικά εφαπτόμενους κύκλους με κέντρα F και G. Έστω AB και CD οι διάμετροι των κύκλων αντίστοιχα που είναι κάθετοι στη διάκεντρο FG. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία A,B,C και D έχει το ίδιο εμβαδόν με το άθροισμα των δύο κύκλων.

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Μέτρηση Κύκλου,Geogebra

Άσκηση στην Γεωμετρία 4

Άσκηση.
Να αποδείξετε ότι η πλευρά του τετραγώνου $s$ ισούται με $s=\dfrac{b\cdot h}{b+h}$.

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο

Άσκηση στην Γεωμετρία 3 (Ptolemy's Theorem)

 Άσκηση.

Έστω ένα επτάγωνο με πλευρά $s$, όπως το παραπάνω σχήμα. Να αποδείξετε την σχέση: $$\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$$

Read more »

Posted in: Γεωμετρία

Άσκηση στην Γεωμετρία 2

Άσκηση.
Να αποδείξετε ότι η κίτρινη περιοχή έχει το ίδιο εμβαδόν με την μπλε περιοχή.

gogeometry.com

Read more »

Posted in: Α Λυκείου,Β Γυμνασίου,Γ Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Λύκειο,Μέτρηση Κύκλου

Proofs Without Words - Αποδείξεις χωρίς λόγια

Proofs Without Words, Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Read more »

Posted in: Βιβλία,Γεωμετρία

Πυθαγόρειο Θεώρημα Απόδειξη Χωρίς Λόγια (Geogebra)

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Geogebra

Άσκηση στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

Άσκηση

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$, προεκτείνουμε την πλευρά $B\Gamma$ προς το σημείο $B$ απόσταση ίση με την πλευρά $AB$ και προς το σημείο $\Gamma$ απόσταση ίση με την πλευρά $A\Gamma$ (όπως το σχήμα).

1. Να υπολογίσετε την γωνία $\hat{\Gamma A B'}$.
2. Να υπολογίσετε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ του τριγώνου.

Read more »

Posted in: Α Λυκείου,Γεωμετρία,Λύκειο,Geogebra

Nine-point circle (GeoGebra)

Ο κύκλος των εννέα σημείων είναι ένας κύκλος που μπορεί να κατασκευαστεί για κάθε τρίγωνο. Ονομάζεται έτσι διότι διέρχεται από εννέα σηγκεκριμένα σημεία που εξαρτόνται από το τρίγωνο. 

Τα σημεία αυτά είναι:

• Τα μέσα των πλευρών.
• Τα σημεία τομής των υψών και των αντίστοιχων πλευρών.
• Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων μεταξύ των ακμών του τριγώνου και του ορθόκεντρου (σημείο τομής των υψών).

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Τρίγωνο,Geogebra

Κυκλοειδές (GeoGebra)

Θεωρούμε ένα δίσκο ακτίνας 1 ο οποίος περιστρέφεται (χωρίς να ολισθαίνει) στο επίπεδο. Η τροχιά ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου λέγεται κυκλοειδές (cycloid). Η καμπύλη που δημιουργείτε έχει την παρακάτω παραμέτρηση:

$\alpha(t)=(t-\sin(t),1-\cos(t))$

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Κυκλοειδές,Geogebra

Άσκηση στον Όγκο Πρίσματος

Άσκηση. Έστω $V_1$ ο όγκος μίας τετραγωνικής πυραμίδας και $V_2$ ο όγκος μίας τριγωνικής πυραμίδας (τετράεδρο). Ποιά είναι η σχέση μεταξύ των $V_1$ και $V_2$ αν οι ακμές και των δύο πυραμίδων είναι ίσες με 1 cm;

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο

Τυπολόγιο για την Ύλη της Β Γυμνασίου - Γεωμετρία

Το έγγραφο περιέχει όλους τους τύπους που θα πρέπει να θυμούνται οι μαθητές τις Β Γυμνασίου στη γεωμετρία.

• Εμβαδά
• Πυθαγόρειο Θεώρημα
• Τριγωνομετρία
• Κανονικά Πολύγωνα
• Εμβαδά Επιφανειών
• Όγκος Πρίσματος, Κυλίνδρου, Πυραμίδας και Σφαίρας

Tweet

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Τυπολόγιο

Τριχοτόμηση Γωνιών Τριγώνου - Morley's Miracle

Αν τριχοτομήσουμε τις γωνίες ενός οποιοδήποτε τριγώνου, τότε από τις τομές των διχοτόμων προκύπτει ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Το θεώρημα είναι γνωστό ως το θαύμα του Morley (Morley's Miracle).

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Τρίγωνο,Geogebra

Θεώρημα Varignon

Αν ενώσουμε τα μέσα των πλευρών ενός οποιουδήποτε τετραπλεύρου, προκύπτει ένα παραλληλόγραμμο.

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Παραλληλόγραμμο,Τετράπλευρο

Στοιχεία Τριγώνου (Geogebra)

Στοιχεία Τριγώνου:

1. Περίκεντρο, σημείο τομής μεσοκαθέτων
2. Βαρύκεντρο, σημείο τομής διαμέσων
3. Έκκεντρο, σημείο τομής διχοτόμων
4. Ορθόκεντρο, σημείο τομής υψών

Read more »

Posted in: Α Γυμνασίου,Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Τρίγωνο,Geogebra

Μέθοδος Κατασκευής Κανονικού Πενταγώνου

Μία μέθοδος κατασκευής του κανονικού πενταγώνου είναι η ακόλουθη όπως φαίνεται στο σχήμα. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί προκύπτει κανονικό πεντάγωνο; Δείτε και επεξεργαστείτε το σχήμα σε GeoGebra πατώντας εδώ. Απαιτεί java.

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γ Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Εγγεγραμμένες γωνίες,Geogebra

Άσκηση στην Κυρτή Γεωμετρία

Άσκηση. Σχεδιάστε το μοναδιαίο τετράγωνο στο επίπεδο, φτιάξτε τέσσερις κύκλους με κέντρα τις κορυφές του τετραγώνου και ακτίνα 1. ΟΙ δίσκοι εφάπτονται στα μέσα των ακμών του τετραγώνου. Υπολόγισε την ακτίνα του μεγαλύτερου δίσκου με κέντρο το 0 η οποία απλώς ακουμπάει (και δεν τέμνει) τους τέσσερις κύκλους.

Η άσκηση αυτή γενικεύεται στον n-διάστατο χώρο και είναι μια εφαρμογή στην κυρτή γεωμετρική ανάλυση, μπορεί όμως εύκολα να λυθεί από μαθητές γυμνασίου στον 2-διάστατο χώρο, δηλαδή έτσι όπως την παρουσιάσαμε. Θεωρούμε μπάλες με κέντρα τις $2^n$ κορυφές του $B^n_\infty$ , δηλαδή του n-διάστατου κύβου. Ποια είναι η ακτίνα της μεγαλύτερης μπάλας με κέντρο το 0 η οποία απλώς ακουμπάει τις άλλες μπάλες;

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γ Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Κυρτή Γεωμετρία