Άσκηση στην Γεωμετρία 3 (Ptolemy's Theorem)

 Άσκηση.

Έστω ένα επτάγωνο με πλευρά $s$, όπως το παραπάνω σχήμα. Να αποδείξετε την σχέση: $$\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$$

www.gogeometry.com

Λύση.

Από το Ptolemy's Theorem γνωρίζουμε ότι σε ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο, όπως το παρακάτω ισχύει:

$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$$

Στο αρχικό μας σχήμα θεωρούμε το παρακάτω τετράπλευρο $(ABCE)$.

Από το Ptolemy's Theorem ισχύει:

$$cd = sc+ds$$

$$\Rightarrow cd = s(c+d)$$

$$\Rightarrow\dfrac{1}{s} = \dfrac{c+d}{cd}$$

$$\Rightarrow\dfrac{1}{s} = \dfrac{c}{cd}+\dfrac{d}{cd}$$

$$\Rightarrow\dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{c}$$

Tweet

Posted in: Γεωμετρία