Μαθηματικά Κατεύθυνσης - Πανελλαδικές Εξετάσεις 2011 - Λύσεις Θεμάτων

Λύσεις των θεμάτων των πανελλαδικών εξετάσεων στα μαθηματικά κατεύθυνσης.

Πατήστε εδώ για να δείτε τα θέματα.

Read more »

Posted in: Γ Λυκείου,Λύκειο,Πανελλαδικές Εξετάσεις

Πυθαγόρειο Θεώρημα Απόδειξη Χωρίς Λόγια (Geogebra)

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Geogebra

Άσκηση στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

Άσκηση

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$, προεκτείνουμε την πλευρά $B\Gamma$ προς το σημείο $B$ απόσταση ίση με την πλευρά $AB$ και προς το σημείο $\Gamma$ απόσταση ίση με την πλευρά $A\Gamma$ (όπως το σχήμα).

1. Να υπολογίσετε την γωνία $\hat{\Gamma A B'}$.
2. Να υπολογίσετε το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ του τριγώνου.

Read more »

Posted in: Α Λυκείου,Γεωμετρία,Λύκειο,Geogebra

Μαθηματικά Κατεύθυνσης - Πανελλαδικές Εξετάσεις 2011

Πατήστε το παρακάτω πλαίσιο για να δείτε τα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης (2011)

Read more »

Posted in: Γ Λυκείου,Λύκειο,Πανελλαδικές Εξετάσεις

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας - Πανελλαδικές Εξετάσεις 2011

Πατήστε το παρακάτω πλαίσιο για να δείτε τα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων στο μάθημα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής (2011)

Read more »

Posted in: Γ Λυκείου,Λύκειο,Πανελλαδικές Εξετάσεις

Λύσεις στα Επαναληπτικά Θέματα της Β Γυμνασίου (Άλγεβρα)

Σε αυτήν την ανάρτηση υπάρχουν οι λύσεις από τις εφτά πρώτες ασκήσεις της προηγούμενης ανάρτησης "Επαναληπτικά θέματα - Β' γυμνασίου".

Read more »

Posted in: Άλγεβρα,Β Γυμνασίου,Γυμνάσιο

Επαναληπτικά θέματα - Β' γυμνασίου.

Επαναληπτικά θέματα για την τάξη της Β Γυμνασίου.

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γυμνάσιο

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Μία εφαρμογή Geogebra που υπολογίζει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τυχαίας γωνίας.

Ανοίξτε την εφαρμογή σε νέα καρτέλα.
Κατεβάστε την εφαρμογή.

Read more »

Posted in: Τριγωνομετρία,Geogebra

Μετατόπιση Πλευρών Τριγώνου

Μια εφαρμογή GeoGebra που μετατοπίζει τις πλευρές του τριγώνου κατά σταθερή απόσταση.

Read more »

Posted in: Τρίγωνο,Geogebra

Nine-point circle (GeoGebra)

Ο κύκλος των εννέα σημείων είναι ένας κύκλος που μπορεί να κατασκευαστεί για κάθε τρίγωνο. Ονομάζεται έτσι διότι διέρχεται από εννέα σηγκεκριμένα σημεία που εξαρτόνται από το τρίγωνο. 

Τα σημεία αυτά είναι:

• Τα μέσα των πλευρών.
• Τα σημεία τομής των υψών και των αντίστοιχων πλευρών.
• Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων μεταξύ των ακμών του τριγώνου και του ορθόκεντρου (σημείο τομής των υψών).

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Τρίγωνο,Geogebra

Απόδειξη Χωρίς Λόγια (Nicomachus's theorem)

Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε την παρακάτω σχέση:

$$\left(\sum_{n=1}^k n\right)^2=\sum_{n=1}^k n^3$$

Read more »

Posted in: Άλγεβρα

Κυκλοειδές (GeoGebra)

Θεωρούμε ένα δίσκο ακτίνας 1 ο οποίος περιστρέφεται (χωρίς να ολισθαίνει) στο επίπεδο. Η τροχιά ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου λέγεται κυκλοειδές (cycloid). Η καμπύλη που δημιουργείτε έχει την παρακάτω παραμέτρηση:

$\alpha(t)=(t-\sin(t),1-\cos(t))$

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Κυκλοειδές,Geogebra

Τι Τροχιά Έχει ; (GeoGebra)

Θεωρούμε ένα κύκλο και ένα εγγεγραμμένο στον κύκλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Επίσης θεωρούμε την ημιευθεία από το κέντρο του κύκλου προς την μία ακμή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Αν μετακινήσουμε την ακμή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ποια θα είναι η τροχιά του σημείου που βρίσκεται πάνω στην ημιευθεία και έχει απόσταση από το κέντρο του κύκλου ίση με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου; (βλ. σχήμα)

Read more »

Posted in: Geogebra

Πυθαγόρειες Τριάδες

Δημοσιεύω δύο πολύ ωραίες σελίδες σχετικά με τις πυθαγόρειες τριάδες.

Οι τριάδες των φυσικών αριθμών $x, y, z$  που συνδέονται με την σχέση $x^2 + y^2 = z^2$ λέγονται «Πυθαγόρειες τριάδες».

• Υπάρχει τρόπος να βρούμε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες;

Read more »

Posted in: Πυθαγόρειες Τριάδες,Τρίγωνο

Μαγικά Τετράγωνα και Σκάκι

Μαγικό τετράγωνο λέγεται ένας πίνακας, μεγέθους n x n που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το $n^2$ και έχει την ιδιότητα: Το άθροισμα των στηλών, των γραμμών (και των διαγωνίων) είναι σταθερό.

• Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
• Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο;
• Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;

Read more »

Posted in: Μαγικά Τετράγωνα,Σκάκι