Μετατόπιση Πλευρών Τριγώνου

Μια εφαρμογή GeoGebra που μετατοπίζει τις πλευρές του τριγώνου κατά σταθερή απόσταση. ...

Read more »

Posted in: Τρίγωνο,Geogebra

Nine-point circle (GeoGebra)

Ο κύκλος των εννέα σημείων είναι ένας κύκλος που μπορεί να κατασκευαστεί για κάθε τρίγωνο. Ονομάζεται έτσι διότι διέρχεται από εννέα σηγκεκριμένα σημεία που εξαρτόνται από το τρίγωνο. Τα σημεία αυτά είναι:Τα μέσα των πλευρών. Τα σημεία τομής των υψών και των αντίστοιχων πλευρών. Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων μεταξύ των ακμών του τριγώνου και του ορθόκεντρου (σημείο τομής των υψώ...

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Τρίγωνο,Geogebra

Απόδειξη Χωρίς Λόγια (Nicomachus's theorem)

Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε την παρακάτω σχέση:$$\left(\sum_{n=1}^k n\right)^2=\sum_{n=1}^k n^3$...

Read more »

Posted in: Άλγεβρα

Κυκλοειδές (GeoGebra)

Θεωρούμε ένα δίσκο ακτίνας 1 ο οποίος περιστρέφεται (χωρίς να ολισθαίνει) στο επίπεδο. Η τροχιά ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου λέγεται κυκλοειδές (cycloid). Η καμπύλη που δημιουργείτε έχει την παρακάτω παραμέτρηση:$\alpha(t)=(t-\sin(t),1-\cos(t))...

Read more »

Posted in: Γεωμετρία,Κυκλοειδές,Geogebra

Τι Τροχιά Έχει ; (GeoGebra)

Θεωρούμε ένα κύκλο και ένα εγγεγραμμένο στον κύκλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Επίσης θεωρούμε την ημιευθεία από το κέντρο του κύκλου προς την μία ακμή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Αν μετακινήσουμε την ακμή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ποια θα είναι η τροχιά του σημείου που βρίσκεται πάνω στην ημιευθεία και έχει απόσταση από το κέντρο του κύκλου ίση με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου; (βλ. σχήμα)...

Read more »

Posted in: Geogebra

Πυθαγόρειες Τριάδες

Δημοσιεύω δύο πολύ ωραίες σελίδες σχετικά με τις πυθαγόρειες τριάδες. Οι τριάδες των φυσικών αριθμών $x, y, z$  που συνδέονται με την σχέση $x^2 + y^2 = z^2$ λέγονται «Πυθαγόρειες τριάδες».Υπάρχει τρόπος να βρούμε όλες τις πυθαγόρειες τριάδε...

Read more »

Posted in: Πυθαγόρειες Τριάδες,Τρίγωνο

Μαγικά Τετράγωνα και Σκάκι

Μαγικό τετράγωνο λέγεται ένας πίνακας, μεγέθους n x n που περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το $n^2$ και έχει την ιδιότητα: Το άθροισμα των στηλών, των γραμμών (και των διαγωνίων) είναι σταθερό. Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο; Μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός βασιλιά στο σκάκι να  δημιουργήσουμε ένα μαγικό τετράγωνο; Πως μπορούμε ακολουθώντας τις κινήσεις ενός ίππου να περάσουμε από όλα τα κουτάκια της σκακιέρας ακριβώς μία φορά;...

Read more »

Posted in: Μαγικά Τετράγωνα,Σκάκι

Κατασκευή Γωνιών 30, 45, 60, 90 και 120 μοιρών

Με αφορμή την ανάρτηση "κατασκευή γωνίας 30 μοιρών" στο blog Διασκεδαστικά Μαθηματικά θα δούμε πως μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη γωνίες 30, 45, 60, 90 και 120 μοιρών. Επίσης θα δούμε πως μπορούμε να διχοτομήσουμε μία γων...

Read more »

Posted in: Γυμνάσιο,γωνίες,Geogebra

Τριγωνικοί Αριθμοί

Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός $T_n$ είναι το άθροισμα των πρώτων n ακεραίων.$T_n=1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$π.χ. $T_5=1+2+3+4+5=15$. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα όπως το σχήμα, όπου βλέπουμε τον $T_4$. Δηλαδή ο $T_n$ είναι το πλήθος των κουκίδων σε ένα τριγωνικό σχέδιο όπως το διπλανό, με n κουκκίδες στην βάση του, n-1 στην επόμενη γραμμή, n-2 στην επόμενη κ.ο.κ. μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή όπου θα υπάρχει μόνο μία κουκκί...

Read more »

Posted in: Αριθμοί,Τριγωνικοί Αριθμοί

Γρίφος - Λογική 2

Τέσσερις άνθρωποι θέλουν να διασχίσουν μια γέφυρα: αρχικά όλοι βρίσκονται στην ίδια πλευρά της. Υπάρχει ένα όριο 17 λεπτών, μετά το οποίο όλοι θα πρέπει να βρίσκονται στην άλλη άκρη της γέφυρας (πρέπει να προλάβουν το τρένο). Είναι νύχτα και διαθέτουν ένα μόνο φακό. Το πολύ δύο άτομα μπορούν να διασχίσουν ταυτόχρονα τη γέφυρα, σε κάθε χρονική στιγμή. Όποια ομάδα διασχίζει τη γέφυρα, είτε του ενός είτε των δύο ατόμων, θα πρέπει να έχει αυτό το φακό. Ο φακός μεταφέρεται από χέρι σε χέρι (δεν μπορεί να πεταχτεί από κάποιον σε κάποιον άλλον). Ο άνθρωπος 1 χρειάζεται ένα λεπτό για να διασχίσει τη γέφυρα, ο 2 χρειάζεται δύο λεπτά, ο 3 πέντε λεπτά και ο 4 θέλει δέκα λεπτά. Δύο άνθρωποι μαζί κινούνται με την ταχύτητα του πιο αργού από τους δύο (για...

Read more »

Posted in: Γρίφος-Λογική

Άσκηση στον Όγκο Πρίσματος

Άσκηση. Έστω $V_1$ ο όγκος μίας τετραγωνικής πυραμίδας και $V_2$ ο όγκος μίας τριγωνικής πυραμίδας (τετράεδρο). Ποιά είναι η σχέση μεταξύ των $V_1$ και $V_2$ αν οι ακμές και των δύο πυραμίδων είναι ίσες με 1 cm;...

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο

Ιστορία των Αριθμών (video)

Το video εξηγεί με ποιο τρόπο κάποιοι λαοί χρησιμοποιούσαν την γλώσσα των μαθηματικών. Ο τίτλος του είναι "Ιστορία των μαθηματικών" αν και θα έπρεπε να είναι "Ιστορία των αριθμών". Δεν υπάρχει καμία αναφορά στα μαθηματικά που ανέπτυξαν οι Έλληνες. Twe...

Read more »

Posted in: Α Γυμνασίου,Β Γυμνασίου,Γ Γυμνασίου,Γυμνάσιο,video

Τυπολόγιο για την Ύλη της Γ Γυμνασίου

Τυπολόγιο για την ύλη των Μαθηματικών της Γ γυμνασίου. ...

Read more »

Posted in: Γ Γυμνασίου,Γυμνάσιο,Τυπολόγιο

Επαναληπτικά θέματα - Γ' γυμνασίου.

Επαναληπτικά θέματα για τα Μαθηματικά της Γ' γυμνασίου. ...

Read more »

Posted in: Γ Γυμνασίου,Γυμνάσιο

Τυπολόγιο για την Ύλη της Β Γυμνασίου - Γεωμετρία

Το έγγραφο περιέχει όλους τους τύπους που θα πρέπει να θυμούνται οι μαθητές τις Β Γυμνασίου στη γεωμετρία. Εμβαδά Πυθαγόρειο Θεώρημα Τριγωνομετρία Κανονικά Πολύγωνα Εμβαδά Επιφανειών Όγκος Πρίσματος, Κυλίνδρου, Πυραμίδας και Σφαίρας Twe...

Read more »

Posted in: Β Γυμνασίου,Γεωμετρία,Γυμνάσιο,Τυπολόγιο

Υπολογισμός Ημέρας

Θα δούμε μία μέθοδο με την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε τι μέρα θα έχουμε ή τι μέρα είχαμε κάποια συγκεκριμένη ημερομηνία.Η ΜέθοδοςΓια να βρούμε την ημέρα κάποιας συγκεκριμένης ημερομηνίας χρησιμοποιούμε τον τύπο:[ημέρα]=(κωδικόςχρόνου+κωδικόςμήνα+ημερομηνία)m...

Read more »