Παρασκευή, 2 Νοεμβρίου 2012

Άσκηση στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β' Λυκείου - Διανύσματα



Άσκηση. Έστω $AB$ και $\Gamma\Delta$ δύο κάθετες χορδές ενός κύκλου με κέντρο $O$, που τέμνονται στο σημείο $K$. Να δείξετε ότι:
$$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{K\Gamma}+\overrightarrow{K\Delta}=2\overrightarrow{KO}$$





Λύση. 
Έστω $M$ το μέσο του $ΑΒ$ και $N$ το μέσο του $\Gamma\Delta$. Παρατηρούμε ότι το $KNOM$ είναι (ορθογώνιο) παραλληλόγραμμο, αφού τα τρίγωνα $OAB$ και $O\Gamma\Delta$ είναι ισοσκελή, δηλαδή οι διάμεσοι $OM$ και $ON$ είναι και ύψοι.


Έχουμε:
$$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{K\Gamma}+\overrightarrow{K\Delta}=$$
$$= \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OK}+ \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OK}+ \overrightarrow{O\Gamma}- \overrightarrow{OK}+ \overrightarrow{O\Delta}- \overrightarrow{OK}=$$
$$=2 \overrightarrow{OM}+2 \overrightarrow{ON}-4 \overrightarrow{OK}=$$
$$=2 \overrightarrow{OK}-4 \overrightarrow{OK}=$$
$$=2 \overrightarrow{OK}$$


0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates