Ταυτότητα του Cassini

Ακολουθία Fibonacci:
$F_0=0$
$F_1=1$
$F_{\nu}=F_{\nu-1}+F_{\nu-2}$







$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377$$

Διαλέξτε έναν αριθμό από την ακολουθία Fibonacci, δοκιμάστε να υπολογίσετε το τετράγωνό του και στην συνέχεια το γινόμενο των δύο γειτονικών όρων (του προηγούμενου και του επόμενου).

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει στην πρώτη στήλη την ακολουθία Fibonacci, στην δεύτερη στήλη το τετράγωνο του αντίστοιχου αριθμού και στην τρίτη στήλη το γινόμενο του προηγούμενου και του επόμενου όρου της ακολουθίας Fibonacci.

Τι παρατηρείτε;

$$\left(
\begin{array}{ccc}
 1 & 1 & 0 \\
 1 & 1 & 2 \\
 2 & 4 & 3 \\
 3 & 9 & 10 \\
 5 & 25 & 24 \\
 8 & 64 & 65 \\
 13 & 169 & 168 \\
 21 & 441 & 442 \\
 34 & 1156 & 1155 \\
 55 & 3025 & 3026 \\
 89 & 7921 & 7920 \\
 144 & 20736 & 20737 \\
 233 & 54289 & 54288 \\
 377 & 142129 & 142130 \\
 610 & 372100 & 372099 \\
 987 & 974169 & 974170 \\
 1597 & 2550409 & 2550408 \\
 2584 & 6677056 & 6677057 \\
 4181 & 17480761 & 17480760 \\
 6765 & 45765225 & 45765226
\end{array}
\right)$$

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί της δεύτερης και της τρίτης στήλης διαφέρουν κατά ένα. Το τετράγωνο στην δεύτερη στήλη είναι μεγαλύτερο όταν το $\nu$ είναι περιττός αριθμός και μικρότερο όταν το $\nu$ είναι άρτιος αριθμός. Γενικά ισχύει:
$$F_{\nu+1}F_{\nu-1}-F^2_{\nu}=(-1)^n$$
Ο παραπάνω τύπος είναι γνωστός ως η ταυτότητα του Cassini (Cassini’s identity).

Θα την αποδείξουμε με την βοήθεια της μαθηματικής επαγωγής.
Ισχύει για $\nu=1$, πράγματι:
$$F_2F_0-F^2_1=1\cdot 0-1^2=-1=(-1)^1$$
Υποθέτουμε ότι ισχύει για $k>0$, θα δείξουμε ότι ισχύει για $k+1$.
$$\begin{eqnarray}
F_{k+1}F_{k-1}-F^2_k&=&(-1)^k\\
F_{k+1}(F_{k+1}-F_{k})-F^2_k&=&(-1)^k\\
F^2_{k+1}-F_{k+1}F_k-F^2_k&=&(-1)^k\\
F^2_{k+1}-(F_{k+1}+F_k)F_k&=&(-1)^k\\
F^2_{k+1}-F_{k+2}F_k&=&(-1)^k\\
F_{k+2}F_k-F^2_{k+1}&=&(-1)^{k+1}
\end{eqnarray}
$$
Επομένως η ταυτότητα του Cassini ισχύει για κάθε θετικό αριθμό $\nu$.




Ο παραπάνω πίνακας δημιουργήθηκε στο mathematica με τον κώδικα:

Table[{Fibonacci[i], (Fibonacci[i])^2,
  Fibonacci[i - 1] Fibonacci[i + 1]}, {i, 1, 20}] 

MatrixForm[%] 

TeXForm[%]

Tweet

Posted in: Ακολουθία Fibonacci,Αριθμοί