Άσκηση Επανάληψης στην Άλγεβρα Α' Λυκείου

Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ και $\beta$ ισχύει:
$$(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+\beta^3$$
Τι συμπεραίνεται για τους $\alpha$ και $\beta$;




Λύση. Θυμόμαστε την ταυτότητα:
$$(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\beta\alpha^2+\beta^3$$

Άρα για να ισχύει η υπόθεση θα πρέπει $3\alpha^2\beta+3\beta\alpha^2=0$.

$$\Leftrightarrow 3(\alpha^2\beta+\beta\alpha^2)= 0$$
$$\Leftrightarrow \alpha^2\beta+\beta\alpha^2= 0$$
$$\Leftrightarrow \alpha\beta(\alpha+\beta)= 0$$
Επομένως:
$$\alpha=0\ \ \text{ή}\ \ \beta=0\ \ \text{ή}\ \ \alpha+\beta=0\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha=-\beta$$

Δηλαδή ένας από τους $\alpha$ και $\beta$ είναι μηδέν ή οι $\alpha$ και $\beta$ είναι αντίθετοι.

Tweet

Posted in: Α Λυκείου,Άλγεβρα,Λύκειο,Ταυτότητες