Άσκηση στις Εξισώσεις 2ου Βαθμού (Α Λυκείου)

Άσκηση. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τιμές χωρίς να βρείτε τις ρίζες $x_1,x_2$ της εξίσωσης: $x^2-5x+6=0$.

1. $x_1+x_2$
2. $x_1\cdot x_2$
3. $x_1^2+x_2^2$
4. $x_1^3+x_2^3$
5. $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$

Λύση. Από τους τύπους του Vieta έχουμε:
$x_1+x_2=S=5$ και  $x_1\cdot x_2=P=6$

Επόμένως για το 3. έχουμε:
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2=5^2-2\cdot 6=23$

Για το 4. έχουμε:
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\cdot(x_1^2-x_1\cdot x_2+x_2^2)=5\cdot (23-6)=85$

Και για το 5. έχουμε:
$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1\cdot x_2}+\dfrac{x_1}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{5}{6}$.

Tweet

Posted in: Α Λυκείου,Άλγεβρα,Εξισώσεις 2ου Βαθμού,Λύκειο,Ταυτότητες,Τύποι Vieta