Δευτέρα, 12 Δεκεμβρίου 2011

Άσκηση στην Γεωμετρία 3 (Ptolemy's Theorem)

 Άσκηση.
Έστω ένα επτάγωνο με πλευρά $s$, όπως το παραπάνω σχήμα. Να αποδείξετε την σχέση: $$\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$$



Λύση.

Από το Ptolemy's Theorem γνωρίζουμε ότι σε ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο, όπως το παρακάτω ισχύει:
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$$
Στο αρχικό μας σχήμα θεωρούμε το παρακάτω τετράπλευρο $(ABCE)$.

Από το Ptolemy's Theorem ισχύει:

$$cd = sc+ds$$
$$\Rightarrow cd = s(c+d)$$
$$\Rightarrow\dfrac{1}{s} = \dfrac{c+d}{cd}$$
$$\Rightarrow\dfrac{1}{s} = \dfrac{c}{cd}+\dfrac{d}{cd}$$
$$\Rightarrow\dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{c}$$






0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates