Πέμπτη, 24 Νοεμβρίου 2011

Άσκηση στην Γεωμετρία 2


Άσκηση.
Να αποδείξετε ότι η κίτρινη περιοχή έχει το ίδιο εμβαδόν με την μπλε περιοχή.

gogeometry.com



Λύση.


Έστω $x$ η πλευρά του τετραγώνου, τότε η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι $\frac{x}{2}$ και οι ακτίνες των τεσσάρων μικρών κύκλων είναι $\frac{x}{4}$.
Παρατηρούμε ότι η μπλε περιοχή ισούται με το εμβαδόν του κύκλου μείων το εμβαδόν των λευκών περιοχών $A_1, A_2, A_3$ και $A_4$, όμοια η κίτρινη περιοχή ισούται με το άθροισμα των μικρών κύκλων μείων το εμβαδόν των λευκών περιοχών $A_1, A_2, A_3$ και $A_4$.
Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι το εμβαδόν του μεγάλου κύκλου ισούται με το εμβαδόν των τεσσάρων μικρών κύκλων. Έχουμε:

$E_M=\pi (\dfrac{x}{2})^2=\dfrac{1}{4}\pi x^2$
και
$4E_\mu=4(\pi(\dfrac{x}{4})^2)=\dfrac{1}{4}\pi x^2$.

0 σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

 
Design by Free Wordpress Themes | Bloggerized by Lasantha - Premium Blogger Templates