Απόδειξη του θεωρήματος του Θαλή

Θα δούμε μία απόδειξη του Θεωρήματος του Θαλή στην οποία δεν χρειάζεται να κάνουμε τον διαχωρισμό μεταξύ σύμμετρων και ασσύμετρων ευθύγραμμων τμημάτων όπως γίνεται στο σχολικό βιβλίο της Ευκλείδιας Γεωμετρίας.

Θεώρημα του Θαλή. Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δυο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα.


Απόδειξη.
Στο παρακάτω σχήμα αρκεί να δείξουμε ότι: $\dfrac{AB}{B\Gamma}=\dfrac{A'B'}{B'\Gamma'}$.

πατήστε πάνω στην εικόνα για να την δείτε σε μεγαλύτερο μέγεθος

Εφαρμόζοντας τον τύπο του εμβαδού του τριγώνου για τα τρίγωνα $AB'B$ και $BB'\Gamma$ έχουμε:

$$\dfrac{(AB'B)}{(BB'\Gamma)}=\dfrac{AB}{B\Gamma}$$

Όμοια για τα τρίγωνα $A'BB'$ και $B'B\Gamma'$ έχουμε:
$$\dfrac{(A'BB')}{(B'B\Gamma')}=\dfrac{A'B'}{B'\Gamma'}$$

Όμως $(AB'B)=(A'BB')$ και $(BB'\Gamma)=(B'B\Gamma')$ (απλή εφαρμογή του τύπου του εμβαδού του τριγώνου, δείτε τις δύο παρακάτω εικόνες).

πατήστε πάνω στην εικόνα για να την δείτε σε μεγαλύτερο μέγεθος

πατήστε πάνω στην εικόνα για να την δείτε σε μεγαλύτερο μέγεθος

Άρα διαιρώντας τις δύο προηγούμενες ισότητες έχουμε:
$$\dfrac{(AB'B)}{(BB'\Gamma)}=\dfrac{(A'BB')}{(B'B\Gamma')}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{B\Gamma}=\dfrac{A'B'}{B'\Gamma'}.$$



Tweet

Posted in: Β Λυκείου,Γεωμετρία,Θεώρημα του Θαλή,Λύκειο